11.3.2多边形的内角和 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

多边形的内角和 三角形的内角和为_______ 长方形的内角和为_______ 任意四边形的内角和为_______ 180° 360° ？ 思考 A B C D 1 2 3 4 连接四边形的任意对角线，将其分为两个三角形，而三角形的内角和为180°，那么任意四边形的内角和是360°吗？ 证明：在四边形ABCD中，连接对角线BC，则四边形ABCD被分为△ABC和△BCD两个三角形。 由此可得， ∠A+∠ABD+∠D+∠ACD =∠A+∠4+∠3+∠D+∠2+∠1 =(∠A+∠3+∠1)+(∠D+∠2+∠4) 而∠A+∠3+∠1=180° ∠D+∠2+∠4=180° 所以∠A+∠ABD+∠D+∠ACD=180°+180°=360° 通过三角形内角和定理 任意四边形内角和是360° 证明 思考 A B C D E 证明:任意五边形的内角和等于540° 通过任意顶点连接对角线，将五边形分为三个三角形。 证明:任意五边形的内角和等于720° 通过任意顶点连接对角线，将六边形分为 个三角形。 思考 问题 n边形的内角和是否也可以用上面的方法？试一试. 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2)个三角形，n边形的内角和等于180 °×（n-2). 多边形的内角和公式 n边形内角和等于（n-2) ×180 °. 把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？运用这些分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 其他分割方法欣赏 练一练：（1）12边形的内角和等于 . （2）如果一个多边形的内角和等于1440 °，那么这是 边形. 1800 ° 十 P P 解：如图，四边形ABCD 中， ∠A +∠C =180°． ∵　∠A +∠B +∠C +∠D =（4 - 2）×180° =360°， 　　∴　∠B +∠D =360°-（∠A + ∠C） =360°- 180° =180°． 例　如果一个四边形的一组对角互补，那么另一 组对角有什么关系？ A B C D 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 问题1　我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法． 如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？ Ａ B C D E F 1 2 3 　由 ∠1 +∠BAE =180°，∠2 +∠CBF =180°， ∠3 +∠ACD =180°， 得 ∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°． 由 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD 　 = 540° - 180° = 360°． Ａ B C D E F 1 2 3 由 ∠BAD +∠1 =180°， ∠ABC +∠2 =180°， ∠BCD +∠3 =180°， ∠ADC +∠4 =180°， 得∠BAD + ∠1 + ∠ABC +∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4． 由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，得 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 - 180°×2 =360°． 问题2　如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？ Ａ B C 1 2 3 D 4 1 2 3 4 5 6 在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形外角和。 问题1：任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？ 互补 多边形外角和的理解 1 2 3 4 5 6 在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形外角和。 问题2：六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ 单个外角和它相邻的内角和为180°，所以六边形6个外角与它们相邻内角和为6×180°=1080° 多边形外角和的理解 1 2 3 4 5 6 在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形外角和。 问题3：上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 6×180°-（n-2）×180°=360° 多边形外角和的理解 n边形的外角和是多少度呢? 因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角， 所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，而内角和为 (n－2)·180°, 外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°. 结论:多边形的外角和都等于