2023年九年级中考数学复习 十字架模型(弦图模型)

中考数学几何模型 十字架模型(弦图模型) 1.全等三角形判定与性质正方形十字架模型(初二) 如图,在正方形中,点分别在上,且,连接相交于点，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 2.正方形十字架模型斜边上的中线(初二) 如图,已知正方形的边长为5,点分别在上,与相交于点,点为的中点,连接,则的长为________. 3.正方形弦图模型求路径长和扫过的面积(初三) 如图,在正方形中,,点在边上,连接,作于点,于点，连接,设. (1)求证:; (2)求证:; (3)若点从点沿边运动至点停止,求点所经过的路径与边围成的图形的面积. 4.正方形中的十字架模型三角形全等(初二) 如图,正方形中,是上的一点,连接,过点作,垂足为点,延长交于点,连接. (1)求证:. (2)若正方形边长是,求的长. 5.正方形中的十字架模型三角形全等(初二) 如图,正方形中,为边上一点,于于,连接. (1)求证:; (2)若,四边形的面积为6,求的长. 6.正方形中的十字架模型三角形相似(初三) 已知:如图,正方形中,是边上一点,,垂足分别是点E、F. (1)求证:; (2)连接,如果.求证:. 7.正方形十字架模型与函数的综合考题(初三) 如图,边长为1的正方形中,点在上,连接,过点作的垂线,垂足分别为,点是正方形的中心,连接. (1)求证:. (2)请判定的形状,并说明理由. (3)若点在线段上运动(不包括端点),设的面积为,求关于的函数关系式(写出的范围)；若点在射线上运动,且的面积为,请直接写出长. 8.正方形十字架模型探究和应用题(初三) 在正方形中,是边上一点(点不与点重合),连接. 【感知】如图①,过点作交于点.易证.(不需要证明) 【探究】如图②,取的中点,过点作交于点,交于点. (1)求证:. (2)连接,若,则的长为________. 【应用】如图③,取的中点,连接.过点作交于点,连接.若,则四边形GMCE的面积为________. 9.正方形十字架模型全等求线段的比值(初三) 如图1,在正方形中,点是边上的一个动点(点与点不重合),连接,过点作于点,交于点. (1)求证:; (2)如图2,当点运动到中点时,连接,求证:; (3)如图3,在(2)的条件下,过点作于点,分别交于点,求的值. 10.正方形十字架模型类比探究和拓展应用(初三) (1)证明推断：如图(1),在正方形中,点分别在边上,于点,点分别在边. (1)求证:; (2)推断:的值为 (2)类比探究:如图(2),在矩形中,为常数).将矩形沿折叠,使点落在边上的点处,得到四边形交于点,连接交于点.试探究与之间的数量关系,并说明理由; (3)拓展应用:在(2)的条件下,连接,当时,若,求的长. 答案 1.是正方形 (第一个正确) (第三个错误) (第二个正确) (第四个正确) 所以不正确的是,故选. 2.【解】四边形为正方形,,,在和中, , , 点为的中点, , , ,故答案为:. 3.【解】(1)证明:在正方形中,, , , , ; (2)在Rt和Rt中,, . 由(1)可知, , 由(1)可知,, , . (3),当点从点沿边运动至点停止时,点经过的路径是以为直径,圆心角为的圆弧,同理可得点经过的路径,两弧交于正方形的中心点,如图. 所围成的图形的面积为: . 4.(1)证明:四边形是正方形,, , , 在和中，； (2)【解】，由(1)得:四边形是正方形，， 由勾股定理得:． 5．证明:(1)四边形是正方形， ， 在和中， (2)设，则， ，整理得:，解得或－5(舍)，． 6．证明:(1)四边形为正方形， 在和中，，， (2)如图， 即平分，而． 7．证明:(1)四边形是正方形， (2)是等腰直角三角形，理由如下:如图，连接点是正方形的中心， 又 是等腰直角三角形． (3)在Rt中， ． ． 当点在线段上时，则，解得:(不合题意舍去)，； 当点在线段的延长线时，同理可求，解得:(舍去)，综上所述:的值为3或时，的面积为． 8．【解】感知:四边形是正方形， ， 在和中，． 探究:(1)如图②，过点作于四边形是正方形，，四边形是矩形，，同感知的方法得，． 在和中，． (2)由(1)知，，连接，点是的中点，，故答案为:2． 应用:同探究(2)得，． 同探究(1)得，，故答案为9． 9．(1)证明:四边形是正方形， ． (2)证明:如图2，过点作于．设点是的中点，． 在Rt中，根据面积相等，得 ． (3)【解】如图3，过点作于 在中， 在中， ． 10．(1)①证明:四边形是正方形， ②【解】结论:．理由:∥． ∥四边形是平行四边形， 故答案为1． (2)【解】结论:．理由:如图1，作于M． ． ． 四边形是矩形， ． (3)【解】如图2，作交的延长线于∥