1.4.2空间向量研究距离问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

前面我们研究了直线、平面的平行、垂直关系 向量平行 向量垂直 向量平行 向量垂直 向量平行 向量垂直 距离问题 角度 问题 方向向量 法向量 知识回顾 平行关系 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 用空间向量研究距离问题 两点间的距离 向量的模 知识回顾 立体几何中的距离问题 点到直线 点到平面 两条平行直线 两个平行平面 点到直线的距离 A P Q l 例1.在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点， 求点M到直线AD1的距离的最小值． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系, 则A(a,0,0)，D1(0,0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量 ＝，＝(0，－m，a－m)， 故点M到直线AD1的距离d＝ ＝ =， 根式内的二次函数当m＝－＝ 时取最小值 +， 故d的最小值为 . 点到平面的距离 l 直线到平面的距离 平面到平面的距离 是与 都垂直的向量 异面直线的距离（仅作了解） 点到平面的距离： 直线到平面的距离： 平面到平面的距离： 异面直线的距离： 四种距离的统一向量形式： 例1.在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点， 求点M到直线AD1的距离的最小值． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系, 则A(a,0,0)，D1(0,0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量 ＝，＝(0，－m，a－m)， 故点M到直线AD1的距离d＝ ＝ =， 根式内的二次函数当m＝－＝ 时取最小值 +， 故d的最小值为 . 例2.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求： (1)顶点B到平面DA1C1的距离； (2)直线B1C到平面DA1C1的距离． [解析] 以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1), 则 =(， 设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得， 不妨取y=1，则 . (2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为=(1,0,0)，所以B1到平面DA1C1的距离==． (1)向量，所以B到平面DA1C1的距离 ； 例3 例4 $$