1.1集合的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念 集合是我们从初中进入到高中第一个要学的内容，那为什么我们首先要学集合呢？大家还记不记得初中我们学的第一课学的是什么吗，是正数和负数，你们想想当我们学了正数和负数之后，之后的所有的数学的学习是不是都离不开他们了，比如后来进一步学习到函数，方程等，虽然不再强调正数和负数，但是你看他们涉及的数值是不是就是正数和负数，当然还有0.所以每一个中学阶段的第一课都是很关键，很重要，你以后的学习都离不开的知识点，但同时它又是最简单，最基础的，所以这节课不用害怕，不怎么难的。 康托尔（G.Cantor，1845-1918） 德国数学家，集合论创始人. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 集合的概念 那集合这个词怎么来的呢？它不是我们上体育课的那种集合啊，在数学中这个集合的概念离不开一个老爷子，他叫做康托尔，是一位著名的德国数学家，他是我们集合论的创始人，这个集合论其实在整个数学史上，他为我们整个数学史做出了非常突出的贡献，包括现在很多国家在后面研究概率论以及很多的问题的时候，都是延续了康陀尔的这个集合论的思想。再然后康托尔在 1873 年 12 月7日的时候，他给他自己的一位这个朋友戴德金惊喜的信中提到了集合论，那么就把这一天定为集合论的诞生日。那有了这个老爷子发明了这个集合论，那么我们之后对于数集以及利用数集去解决数学当中的问题就有了很好的突破。 集合的概念 那么为什么要发明集合论呢？那首先咱们徐徐地展开我们的人教 a 版必修一的第一页，我们可以在第一页中发现，在整个这个页面当中，第一章节我们可以看到是一片非常广袤的非洲大草原的图景，在这个草原的底部我们可以看到有很多的斑马，当然还有什么呢？角马，那我们就可以按照斑马和角马分成不同的集合，前面是斑马的集合，后面是角马的集合，在每个集合里的动物是不是都有相同的特征，比如在斑马集合里，如果我把这里的每一只斑马都称为研究对象，然后把所有具有相同特征的研究对象放到了一起，组成了这么一堆，那这一堆就成为一个集合。 集合的概念 看下面的例子： 1～10之间的所有偶数 立德中学今年入学的全体高一学生 所有的正方形 到直线l的距离等于定长d的所有点 方程的所有实数根 地球上的四大洋 那么接下来咱们就一起来看集合的概念。首先我们刚才已经从思维上理解了，集合其实就是去研究一个对象，并且把相同特征的对象放到一起组成的这样的一堆东西，我们把它称为集合。那么我们现在来思考这样的 6 个问题，我们先从第一个问题来思考，现在我要让你列出来 1- 10 以内所有的偶数，那就是246810，列出来之后你想想它让我们研究的是什么呢？是不是 1- 10 以内所有的偶数？那么 246810 这每一个数字其实就是我们研究的一个对象，而每一个对象是不是有一个共同的特点，它们都是偶数，所以我们把每一个具有相同特点的这样的一堆事物放到一起，这样就可以组成一个集合。那在我们数学当中，我们一般研究这个对象，我们在集合当中不把它称为对象的这个词，当然大家不要误会，不是男朋友女朋友这个对象，我们把它称为什么呢？我们把它称为元素，也就是在集合当中你研究的每一个事物，我们把它称为元素，那也就是相同特点的元素放到一起，我们就给它称为集合了。那在我们数学当中，我们一般不讲研究对象这个词，而是把它称为元素，就像你可以叫可以感恩，也可以叫班长，这是一个人来的，所以研究对象和元素也是一个意思来的，大家不要太纠结。所以在这里我们就把 246810 都称为是这个集合的元素。那接下来我们来看第二个例子，立德中学今年入学的全体高一学生，那么每一个学生就可以称为它的一个元素，对吧？那么所有高一学生放到一起，然后再加上一个相同特征是今年入学的，那么这也组成了一个集合。那再比如说第三个所有的正方形，那每一个小正方形就可以成为一个元素，所有的正方形放到一起就是一个集合。 那第四个到点 l 距离长等于 d 的所有点，那么这些点的特点是要到 l 的距离等于 d 长，那所有的点组成了一个点集，那接下来方程数所有的实数根，那么我们可以算出根是谁嘛，然后这些根组成了这样的一个集合。那再来看地球上的 4 大洋，那 4 大洋是非常确定的，那么 4 大洋就组成了一个集合，那这是我们在思考问题当中所对于集合的理解。我们可以看到其实如果没有特定的限制，集合不仅仅指我们数学中的数集，它是不是可以延伸到我们生活中的方方面面？所以说集合的概念是一个相对比较宽泛的概念，只不过如果单单从数学的角度来思考，我们主要研究的就是数之间的一个集合的范围，但是大家不要把这个概念理解窄了，其实它可以延伸到我们万物都可以用集合的概念来理解。 集合的概念 一般地，我们把研究对象统称为元素（element）， 把一些元素组成的总