2023年九年级数学中考复习 将军饮马最值模型

中考数学几何模型 第一节：将军饮马最值模型 1.正方形中的将军饮马最小值问题(初二) 如图,正方形的对角线交于点0,点是直线上一动点.若,则的最小值是( ) A. B. C. D. 2.直角三角形中的将军饮马问题(初二) 已知在Rt中,,点为边上的动点,点为边上的动点,则线段的最小值是( ) A. B. C. D. 3.矩形中的将军饮马最小值问题(初二) 如图,点为矩形的对角线上一动点,点为的中点,连接,若,则的最小值为________. 4.正方形中的将军饮马最小值问题(初三) 如图,正方形的边长为为的中点,为上一动点,则的最小值为__________ 5.正方形中的将军饮马与隐形圆综合题(初三) 如图,动点在边长为2的正方形内,且是边上的一个动点,是边的中点,则线段的最小值为( ) A. B. C. D. 6.平面直角坐标系中造桥选址问题(初二) 在平面直角坐标系中,长为2的线段(点在点右侧)在轴上移动,,2),,连接,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.矩形中的将军饮马问题(初二) 如图,在矩形中,,动点满足,则点到、两点距离之和的最小值为( ) A. B. C. D. 8.平面直角坐标系中的将军饮马问题(初二) 如图,在Rt中,,点在边上,且, 点为的中点,点为边上的动点,当点在上移动时,使四边形周长最小的点的坐标为( ) A. B. C. D. 9.正方形中的将军饮马问题(初二) 如图,在正方形中,点将对角线三等分,且,点在正方形的边上,则满足的点的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8 10.角一定两动型将军饮马问题(初二) 如图,在锐角三角形中,平分,交于点,分别是上的动点,则的最小值是( ) A. B.2 C. D.4 参考答案 1.【解】如图,作点关于直线的对称点,连接,其与的交点即为点,再作交于点, 与关于对称, , 当且仅当三点共线时和最小,如图所示,此时,则即为所求. 正方形,点为对角线的交点, , 与关于对称,, , 在Rt中,,故选:D. 2.【简解】过点作关于的对称点,连接,由对称性质得: 当三点共线且垂直时有最小值,如图,即为所求的最小值, 在Rt中,, ,故选:. 3.【解】如图,作点关于的对称点,交于点,连接,由对称性可知, ,当三点共线时, 则的长度即为的最小值. 四边形为矩形, , 在Rt中,, , 由对称的性质可知,, , , 是等边三角形, 是直角三角形, , 的最小值为6,故答案为:6. 4.【解】作点关于的对称点交于点,过点作交的延长线于点,连接.由对称性质得:,当三点共线时,即为的最小值,点是的中点,正方形的边长为5, , , , ,在Rt中, 设,则,且已知, , 在Rt中,同理可得,, 过点作交于, 依题意得:, 在Rt中,, 的最小值为,故答案为:. 5.【解】作点关于的对称点,设的中点为点,连接,交于点,连接,如图: 动点在边长为2的正方形内,且, 点在以为直径的半圆上,, 正方形的边长为2, , 是的中点,,作点关于的对称点, , ,连接,于交于,与半圆交于点,此时的值,即为PE+PM的最小值. 在Rt中,, .故选:. 6.【简解】如图,作,则. ,根据将军饮马原理,过点作轴的对称点,则. , 当三点共线时,有最小值,即为所求,的最小值为.故选:. 7.【解】设中边上的高是. , , 动点在与平行且与的距离是2的直线上, 如图,作关于直线的对称点,连接,则的长就是所求的最短距离. 在Rt中,, ,即的最小值为.故选:. 8.【解】在Rt中,, ,点为的中点,,作关于直线的对称点,连接交于,则此时,四边形周长最小,, 直线的解析式为,设直线的解析式为,解得:,直线的解析式为,解得,,故选:. 9.【解】如图,作点关于的对称点,连接交于点,连接,交于点 点将对角线三等分,且, , 点与点关于对称 则在线段存在点到点和点的距离之和最小为,在点右侧,当点与点重合时,则 点在上时,,在点左侧, 当点与点重合时, , , 点在上时,, 在线段上点的左右两边各有一个点,使得,同理在线段上都存在两个点,使得.即共有8个点满足,故选:. 10.【简解】如图,在上截取,连接,的平分线交于点,在与中,,. 当三点共线且垂直时,取最小值,即为所求最小值:.故选:. ( 第 1 页 共 10 页 ) $$