1.3勾股定理的应用 (1)- 确定长方体上的最短距离 课件 2023－2024学年北师大版数学八年级上册

主讲老师:如梦似幻 北师大版 八年级上册 1.3 勾股定理的应用(1) 1 学习目标 目标1 目标2 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,发展应用意识 学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离 2 B 牛奶盒 A 问题:看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿,小明灵光乍现,又拿出了长方体形状的牛奶盒,把小蚂蚁放在了点 A 处,并在点 B 处滴了一滴蜂蜜,你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么? 6 cm 8 cm 10 cm 确定长方体上的最短路线 B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 = 102 + (6 + 8)2 = 296, AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320, AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360, 解:由题意知有三种展开方法, 如图. ∴ AB1<AB2<AB3. ∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 AB1. 8 6 6 10 8 由勾股定理得 方法总结 (1)右侧面向前展开:AB2=(a+b)2+c2=a2+b2+c2+2ab (2)上底面向前展开:AB2=(c+b)2+a2=a2+b2+c2+2bc (3)上底面向左展开:AB2=(a+c)2+b2=a2+b2+c2+2ac 当c最大时,AB最短; 当a最大时,AB最短; 当b最大时,AB最短; 敲黑板:展开长方体相邻两个面时,最长棱单独做展开之后长方形的一边时,对角线最短。 A B 例1 点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少? 前 上 A B A B 左 上 A B 前 右 巩固练习 A B C 解:如图所示 在Rt△ABC中, 利用勾股定理可得, AB 2 =AC2+BC2 =20 2+102 = 500 10 10 10 所以AB2=500. 例2 一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm, 8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少? 如图①,AB²=8²+20²=464.如图②,AB²=16²+12²=400.因为464>400,所以蚂蚁沿图②爬行的路线最短.所以AB=20cm.即最短路程为20cm. 解:把长方体盒子的侧面展开,连接AB,有两种情况,如图所示. 解:如图1,把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形. ∵长方体的宽为10,高为20,BC=5,∴BD=CD+BC=10+5=15,AD=20, 在Rt△ABD中,根据勾股定理得:∴AB2=BD2+AD2=152+202=625. 例3 如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少? 解:如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形, ∵长方体的宽为10,高为20,BC=5,∴BD=CD+BC=20+5=25,AD=10. 在Rt△ABD中,根据勾股定理得:∴AB2=BD2+AD2=252+102=725. 例3 如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少? 例3 如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少? 解:如图3,把长方体的上底面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形. 同理得AB2=BC2+AC2=52+302=925. ∵625<725<925,AB2最小为625. ∴蚂蚁爬行的最短路程是25cm. 课堂小结 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 惟有主动付出, 才有丰富的果实获得收获! 主讲老师:如梦似幻 14 $$