1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究 直线、平面的位置关系 求法向量的方法 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． l1 l2 u1 u2 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α， 则l∥α⇔u⊥n ⇔u·n＝0． α u n l 2.线面平行的向量表示 3.面面平行的向量表示 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． α β n1 n2 类比平行的向量表示，线线垂直，线面垂直，面面垂直时直线方向向量和平面法向量有什么关系? 1.线线垂直的向量表示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2， 则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 l1 u1 l2 u2 2.线面垂直的向量表示 设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量， l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，u＝λn α n l u 3.面面垂直的向量表示 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． n1 n2 例1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF． B A C D P E F 方法1：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， x y z 设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)， ∵E在BC上，∴设E(m,1,0)， ∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF． 一、证明线线垂直问题 B A C D P E F 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF． 变式：如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC. A B C D E F 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， x y z 例2：如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD． A B C A1 B1 C1 D O x y z O1 即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD． 二、证明线面垂直问题 A B C A1 B1 C1 D O x O1 y z 方法二：设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 三、证明面面垂直问题 $$