第6期 椭圆(一)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 １．设 Ｆ１，Ｆ２为定点，｜Ｆ１Ｆ２｜＝６，动点 Ｍ满足 ｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝６，则动点Ｍ的轨迹是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）椭圆　 （Ｂ）直线 （Ｃ）圆　 （Ｄ）线段 ２．椭圆２５ｘ２＋１６ｙ２ ＝１的焦点坐标为 （　　） （Ａ）（－３，０） （Ｂ） －１３，( )０， １３，( )０ （Ｃ） －３２０，( )０， ３２０，( )０ （Ｄ）０，－３( )２０，０，３( )２０ ３．椭圆长轴上的两端点 Ａ１（－３，０），Ａ２（３，０），两 焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为 （　　） （Ａ）ｘ ２ ９＋ ｙ２ ８ ＝１ （Ｂ） ｘ２ ９＋ｙ ２ ＝１ （Ｃ）ｘ ２ ８＋ ｙ２ ９ ＝１ （Ｄ）ｘ ２＋ｙ ２ ９ ＝１ ４．方程 ｘ ２ ２ｍ－ ｙ２ ｍ－１＝１表示焦点在ｙ轴上的椭圆， 则ｍ的取值范围是 ． ５．已知椭圆的两个焦点坐标是Ｆ１（－３，０），Ｆ２（３， ０），并且经过点 Ｐ（０，－４），则椭圆的标准方程是 ． ６．在△ＡＢＣ中，｜ＢＣ｜＝２４，ＡＣ，ＡＢ的两条中线之 和为３９，求△ＡＢＣ重心Ｍ的轨迹方程． １．下列椭圆中最接近圆的是 （　　） （Ａ）ｘ ２ ４＋ ｙ２ ５ ＝１　　　　（Ｂ） ｘ２ ６＋ ｙ２ １０＝１ （Ｃ）ｘ ２ １６＋ ｙ２ １２＝１ （Ｄ） ｘ２ ３６＋ ｙ２ ４ ＝１ ２．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的 和为１０，焦距为 槡２５，则椭圆的方程为 （　　） （Ａ）ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１ （Ｂ）ｘ ２ ２５＋ ｙ２ １６＝１ （Ｃ）ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１或 ｘ２ ４＋ ｙ２ ９ ＝１ （Ｄ）以上都不对 ３．椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆 的离心率为 （　　） （Ａ）槡５４　　（Ｂ） 槡３ ２　　（Ｃ） 槡２ ２　　（Ｄ） １ ２ ４．若椭圆ｘ２＋ｍｙ２＝１的离心率为槡３２，则它的长半 轴长为 ． ５．已知椭圆的中心在原点，焦点在ｘ轴上，焦距等 于８，离心率为 ４５，则此椭圆方程为 ． ６．已知椭圆 Ｃ的焦点 Ｆ１（－ 槡２２，０）和 Ｆ２（槡２２， ０），长轴的长为６．设直线ｙ＝ｘ＋２交椭圆Ｃ于Ａ，Ｂ两 点，求线段ＡＢ的中点坐标． 书 椭圆是圆锥曲线中的重要内容，高考中涉及到椭圆 的题型比较多．在此，我们集中了具有代表性的四类热 点问题进行剖析解读，以便帮助同学们抓住椭圆类题型 的精髓． 热点问题１：由椭圆的几何性质求椭圆方程 例１已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的 左、右焦点，Ａ是椭圆上位于第一象限内的一点，若→ＡＦ２· Ｆ１ → Ｆ２ ＝０，椭圆的离心率等于槡 ２ ２，且 △ＡＯＦ２的面积为 ２槡２，求椭圆的标准方程． 分析：求椭圆的标准方程就是要求其中的ａ，ｂ，其中 →ＡＦ２·Ｆ１→ Ｆ２＝０，离心率等于槡 ２ ２及△ＡＯＦ２的面积为２槡２， 这些条件就是供我们确定ａ，ｂ用的． 解：因为 →ＡＦ２·Ｆ１→ Ｆ２ ＝０，所以ＡＦ２⊥Ｆ１Ｆ２． 由椭圆的离心率ｅ＝ ｃａ ＝ 槡２ ２，得ａ ２ ＝２ｂ２． 设Ａ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０，ｙ＞０），由ＡＦ２⊥Ｆ１Ｆ２， 知ｘ＝ｃ，代入椭圆方程得ｙ＝ｂ ２ ａ． 因为△ＡＯＦ２的面积为２槡２， 所以Ｓ△ＡＯＦ２ ＝ １ ２ｘｙ＝２槡２，即 １ ２ｃ· ｂ２ ａ ＝２槡２． 又 ｃ ａ ＝ 槡２ ２，所以ｂ ２ ＝８，ａ２ ＝２ｂ２ ＝１６． 故所求椭圆的标准方程为 ｘ２ １６＋ ｙ２ ８ ＝１． 点评：由椭圆的几何性质求椭圆标准方程的一般步 骤是：（１）确定焦点所在的坐标轴；（２）构造方程求出ａ， ｂ的值；（３）写出标准方程． 热点问题２：求椭圆离心率的取值范围 例２已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的 两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，若∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°，求椭圆离 心率的取值范围． 分析：求离心率的取值范围是一类热点也是难点问 题，其难点在于需要发现一个或多个限制 ａ，ｂ，ｃ的不等 式，即要构造一个关于ａ，ｂ，ｃ的不等式或不等式组．该题 是要通过 ∠Ｆ１ＰＦ２ ＝６０°，利用余弦定理与基本不等式 建立ａ，ｂ，ｃ的关系来获得椭圆离心率的取值范围． 解：设｜ＰＦ１｜＝ｍ，｜ＰＦ２｜＝ｎ． 在△ＰＦ１Ｆ２中，由余弦定理得 ｃｏｓ∠Ｆ１ＰＦ２ ＝ ｜ＰＦ１｜ ２＋｜ＰＦ２｜ ２－｜Ｆ１Ｆ２｜ ２ ２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ ， 即ｃｏｓ６０°＝（ｍ＋ｎ） ２－２ｍｎ－４ｃ２ ２ｍｎ ＝４ａ ２－４ｃ２ ２ｍｎ －１≥ ２（ａ２－ｃ２） ｍ＋ｎ( )２ ２ －１ ＝２（ａ ２－ｃ２） ａ２ －１ ＝１－２ ｃ( )ａ ２ ＝１－２ｅ２（当且仅当ｍ＝ｎ时取“＝”号）． 所以ｅ２≥ １４，又ｅ∈（０，１），所以ｅ∈