第4期 直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 在解直线与圆相交的问题时，很多同学喜欢联立方 程组，求解交点坐标，进而求弦长．这样做，计算量太大， 容易出错．而通过做图，会发现一个奇妙的三角形． 题１（求切线长）从圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝１外 一点Ｐ（２，３）向这个圆引切线，则切线长为 ． 解：如图１所示，线段ＰＡ，ＡＣ，ＰＣ 恰巧构成一个直角三角形，利用此 直角三角形易得切线 ＰＡ的长为 ｜ＰＣ｜２－｜ＣＡ｜槡 ２ ＝２． 点评：利用这个三角形大大地 减少了计算量．而这个三角形必然 是直角三角形． 题２（求弦长）已知圆Ｃ的圆心与点Ｐ（－２，１）关 于直线ｙ＝ｘ＋１对称．直线ｌ：３ｘ＋４ｙ－１１＝０与圆 Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且 ｜ＡＢ｜＝６，则圆 Ｃ的方程为 ． 解：首先由圆心与点Ｐ关于ｙ＝ｘ＋１对称，可以求出 圆心的坐标为Ｃ（０，－１），设圆的半径为ｒ． 因为圆心Ｃ到直线３ｘ＋４ｙ－１１＝０的距离为 ｄ＝｜３×０＋４×（－１）－１１｜ ３２＋４槡 ２ ＝１５５ ＝３． 先画出图形，如图２．过点 Ｃ作 直线ｌ的垂线，垂足为Ｅ，则△ＡＣＥ为 直角三角形，且Ｅ为弦ＡＢ的中点．利 用直角三角形可得， ｒ２ ＝ＣＥ２＋ＡＥ２ ＝９＋９＝１８． 所以圆Ｃ的方程为 ｘ２＋（ｙ＋１）２ ＝１８． 点评：只要作图，就会发现这个奇妙的三角形，题目 中所涉及的数量关系也就一目了然了． 书 在最近几年的高考中经常出现关于点的个数的判 断方法，如：满足圆（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２（ｒ＞０）上 到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离为定值ｈ的点Ｐ究竟有 几个？它取决于定值 ｈ、半径 ｒ以及圆心到直线的距离 ｄ（为节省版面，下列题中均省略字母意义的设置，而同 学们在做题中，此步骤不可省）． 一、ｄ＞ｒ的情形 例１圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线３ｘ＋４ｙ＋ １２＝０的距离等于４的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝４， ｄ＝｜３×３＋４×３＋１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝３３５． 因为ｄ＝３３５ ＞ｒ＝３， 且 ３３ ５－３＝ｄ－ｒ＜ｈ＝４， 所以符合条件的点有２个，如图１． 二、ｄ＝ｒ的情形 例２圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ １２＝０的距离等于３的点的个数为 ． 解析：由已知得ｒ＝３，ｈ＝３， ｄ＝｜５×３＋４×３－１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝３． 因为０＜ｈ＝３＜２ｒ＝６， 所以符合条件的点有２个，如图２． 三、０＜ｄ＜ｒ的情形 例３圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ ２０＝０的距离等于３的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝３， ｄ＝｜５×３＋４×３－２０｜ ３２＋４槡 ２ ＝ ７５． 因为 ７ ５ ＜ｈ＝３＜ｒ＋ｄ＝ ２２ ５， 所以符合条件的点有２个，如图３． 四、ｄ＝０的情形 例４圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ ２７＝０的距离等于２的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝２， ｄ＝｜５×３＋４×３－２７｜ ３２＋４槡 ２ ＝０． 因为０＜ｈ＝２＜ｒ＝３， 所以符合条件的点有４个，如图４． 点评：无论条件怎么变，只要明确了 ｒ，ｄ，ｈ之间的数量关系，作出图形，便可一目了然．这足 以说明数形结合思想的重要作用． ! ! " # $ ! % ! ! ! ! " & $ ! ' ! " ! ! ( & $ ! ) ! # ! ! " ! ! $ ! * + , - . ! ! !" # $ 书 误区一、忽视直线的斜率不存在致误 例１直线ｌ经过点Ｐ（３，６）且和圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝２５相 交，截得弦长为８，求直线ｌ的方程． 错解：设直线方程为ｙ－６＝ｋ（ｘ－３）， 即ｋｘ－ｙ－３ｋ＋６＝０． 则圆心到直线的距离为ｄ＝ ｜－３ｋ＋６｜ ｋ２＋（－１）槡 ２ ． 由于直线被截得弦长为８，且ｒ＝５， 因此ｄ＝ ｜－３ｋ＋６｜ ｋ２＋（－１）槡 ２ ＝３，解得ｋ＝ ３４． 所以直线ｌ的方程３ｘ－４ｙ＋１５＝０． 剖析：本题错解原因在于设直线方程时没有考虑直 线的斜率不存在的情况，事实上，当直线斜率不存在时， 即直线与ｘ轴垂直时，直线被圆截得的弦长也是８． 正解：当直线垂直于ｘ轴时，直线ｌ的方程为ｘ＝３， 将其代入圆方程ｘ２＋ｙ２ ＝２５， 解得ｙ１ ＝－４，ｙ２ ＝４， 所以弦长为｜ｙ１－ｙ２｜＝８，满足题意； 当直线不垂直于ｘ轴时， 由错解知直线ｌ的方程为３ｘ－４ｙ＋１５＝０． 故所求直线ｌ的方程为ｘ＝３或３ｘ－４ｙ＋１５＝０． 误区二、概念不清致误 例２求过原点及点Ａ（１，１），且在ｘ轴上截得的线段 长为３的圆的方程． 错解：设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 由题意得 Ｆ＝０， Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝－２{ ． 令ｙ＝０得ｘ２＋Ｄｘ＝０，解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－Ｄ． 由ｘ２－ｘ１ ＝３得Ｄ＝－３，所以Ｅ