第8期 圆的方程-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 求圆的方程的题型有很多，如果认真分析题目条 件，根据已知条件的不同采用不同的方法求圆的方程， 可以取得事半功倍的效果．下面就常见的题型进行剖 析，希望能对同学们有所帮助． 一、直接法 例１已知圆Ｃ的圆心为（－１，１），点Ａ（２，－１）在圆 Ｃ上，求圆Ｃ的方程． 解：因为点Ａ在圆Ｃ上， 则Ａ，Ｃ两点间的距离等于圆Ｃ的半径． ｜ＡＣ｜＝ （２＋１）２＋（－２）槡 ２ ＝槡１３． 所以圆Ｃ的方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ－１）２ ＝１３． 二、待定系数法 例２求过三点Ｏ（０，０），Ｍ（１，１），Ｎ（４，２）的圆的方 程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 因为Ｏ（０，０），Ｍ（１，１），Ｎ（４，２）在圆上， 把它们的坐标代入圆的方程得到关于 Ｄ，Ｅ，Ｆ的三 元一次方程组，即 Ｆ＝０， Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋２＝０， ４Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＋２０＝０ { ． 解得Ｄ＝－８，Ｅ＝６，Ｆ＝０． 所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－８ｘ＋６ｙ＝０． ｒ＝１２ Ｄ ２＋Ｅ２－４槡 Ｆ＝５，－ Ｄ ２ ＝４，－ Ｅ ２ ＝－３． 所以半径为５，圆心坐标为（４，－３）． 三、利用对称性法 例３将圆Ｃ：（ｘ＋１）２＋（ｙ－４）２＝１绕点Ａ（２，－２）按 顺时针方向旋转１８０°得到曲线Ｍ，求曲线Ｍ的轨迹方程． 解：圆Ｃ的圆心坐标为Ｃ（－１，４）． 圆Ｃ按顺时针方向旋转１８０°得到曲线Ｍ的轨迹仍 为圆，半径ｒ＝１． 由题意可知圆心Ｍ与Ｃ（－１，４）关于点Ａ（２，－２） 对称，即Ａ为ＭＣ的中点． 设Ｍ（ｘ，ｙ），根据中点坐标公式有 ｘ－１ ２ ＝２， ｙ＋４ ２ ＝－２． 解得Ｍ（５，－８）． 所以曲线Ｍ的轨迹方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋８）２ ＝１． 四、图形结合 例４已知Ｂ，Ｄ两点在圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上运动，Ａ（ａ， ０）是圆Ｏ内一点（其中０＜ａ＜ｒ），且ＡＢ⊥ＡＤ，四边形 ＡＢＰＤ是矩形，则Ｐ点的轨迹方程是 （　　） （Ａ）ｘ２＋ｙ２＋４ｒ２ ＝０ （Ｂ）ｘ２＋ｙ２＋２ｒ２－ａ２ ＝０ （Ｃ）ｘ２＋ｙ２－２ｒ２＋ａ２ ＝０ （Ｄ）ｘ２＋ｙ２－４ｒ２ ＝０ 解：设Ｐ（ｘ，ｙ），点Ｍ为矩形ＡＢＰＤ两对角线的交点， 且 (Ｍ ｘ＋ａ２ ，ｙ)２ ． 如下图所示， 易知｜ＤＭ｜２ ＝｜ＡＭ｜２ (＝ １２ )｜ＡＰ｜ ２ ＝ １４［（ｘ－ａ） ２＋ｙ２］． 又｜ＤＯ｜２ ＝｜ＤＭ｜２＋｜ＯＭ｜２， 即ｒ２ ＝１４［（ｘ－ａ） ２＋ｙ２］ (＋ ｘ＋ａ)２ ２ (＋ ｙ)２ ２ ， 整理得ｘ２＋ｙ２－２ｒ２＋ａ２ ＝０．故选（Ｃ）． 书 一、圆的定义 （１）在平面内，到 ① 的距离等于 ② 的点的轨迹叫做圆． （２）确定一个圆的要素是 ③ 和 ④ ． 二、圆的标准方程 求圆的标准方程常用的方法： （１）直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代 入圆的标准方程． （２）待定系数法：首先根据题意，设所求的圆的标准 方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２；其次根据已知条件，建 立关于ａ，ｂ，ｒ的方程组；最后求出 ａ，ｂ，ｒ的值，并把它们 代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． （３）数形结合法：如果在求解圆的方程这类问题时 能够结合圆的有关几何性质来考虑，可以使思路简捷、 直观、计算简单，这就是“数形结合”的思想．学习这部分 内容时，要注意培养这种思想． 三、圆的一般方程 圆的一般方程为 ① ，其中圆心为 ② ，半径为③ ． 四、点Ｍ（ｘ０，ｙ０）与圆（ｘ－ａ） ２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２的位 置关系 （１）若Ｍ（ｘ０，ｙ０）在圆外，则① ； （２）若Ｍ（ｘ０，ｙ０）在圆上，则② ； （３）若Ｍ（ｘ０，ｙ０）在圆内，则③ ． 五、确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为： （１）根据题意选择标准方程或一般方程； （２）根据题设条件列出关于 ａ，ｂ，ｒ或 Ｄ，Ｅ，Ｆ的方 程组； （３）由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的 方程． （参考答案见本期） 书 圆的方程主要有标准方程和一般方程，那么在具 体求圆的方程过程中，对这两种形式的方程应如何选 择呢？ 一、标准方程的选择 根据标准方程的结构特点，选择标准方程一般具 有如下特征：（１）条件中涉及到圆心；（２）涉及到圆的 半径．选用圆的标准方程有两种求法：（１）根据条件直 接求得ａ，ｂ，ｒ，然后代入标准形式；（２）利用待定系数 法，建立关于ａ，ｂ，ｒ的方程（组）求解． 例１已知圆心在直线ｘ＝－１上，半径为槡２９的圆 Ｃ与圆Ｃ′：ｘ２＋ｙ２－６ｘ＋２ｙ－１０＝０的圆心之间的距 离为２槡５，求圆Ｃ的方程． 解：根据条件可设圆Ｃ的方程为 （ｘ＋１）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝２９． 圆Ｃ′的方程配方得（ｘ－３）２＋（ｙ＋１）２ ＝２０， 其圆心为（３，－１）． 则 （－１－３）２＋（ｂ＋