第7期 直线的交点坐标与距离公式-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 学习数学是需要通过做一定的练习，不断积累知识 与方法，从而更加深刻地理解概念和学会灵活运用基本 理论解决问题．因此在平时的学习中可以针对一个问 题，从多角度进行分析，争取寻找更多的解决方法，从而 达到上述目的．下面以一道直线相交题为例进行多解研 究． 例 一条直线ｌ被两直线ｌ１：３ｘ－ｙ＋１＝０，ｌ２：２ｘ＋ｙ －６＝０截得的线段的中点恰好是坐标原点，则该直线方 程为 ． 解法一：（方程法） 设所求直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ， 与ｌ１，ｌ２的交点分别是Ａ，Ｂ， 则由 ｙ＝ｋｘ， ３ｘ－ｙ＋１＝０{ ， 解得 (Ａ １ｋ－３， ｋｋ－ )３ ； 由 ｙ＝ｋｘ， ２ｘ＋ｙ－６＝０{ ， 解得 (Ｂ ６ｋ＋２，６ｋｋ＋ )２ ． 于是 １ ｋ－３＋ ６ ｋ＋２＝０，解得ｋ＝ １６ ７． 所以直线ｌ的方程为ｙ＝１６７ｘ， 即１６ｘ－７ｙ＝０． 解法回眸：本解法是最常规的一种解法，即根据题 意设出所求直线方程，然后通过解方程组求得两个交点 的坐标，再利用中点坐标公式建立方程求得直线斜率 ｋ 的值，进而求得直线方程，但整个过程的计算量比较大． 解法二：（坐标法） 设所求直线ｌ与ｌ１，ｌ２的交点分别是Ａ，Ｂ， 则由条件知Ａ，Ｂ关于原点对称． 由于点Ａ在直线ｌ１：３ｘ－ｙ＋１＝０上， 所以设点Ａ坐标（ａ，３ａ＋１）， 则点Ｂ的坐标为（－ａ，－３ａ－１）， 代入ｌ２的方程得２（－ａ）＋（－３ａ－１）－６＝０， 解得ａ＝－７５，故 (Ａ －７５，－１６)５ ． 所以直线ｌ的方程为ｙ－０＝ －１６５－０ －７５－０ （ｘ－０）， 即１６ｘ－７ｙ＝０． 解法回眸：本解法紧紧抓住交点及对称关系，通过 设出交点的坐标，充分利用点在直线上建立方程求得交 点的坐标，进而求得直线方程，整个过程运算量比较小． 解法三：（结构分析法） 设所求直线ｌ与ｌ１，ｌ２的交点分别是Ａ，Ｂ， 设Ａ（ｘ０，ｙ０），则Ｂ点坐标为（－ｘ０，－ｙ０）． 因为Ａ，Ｂ分别在ｌ１，ｌ２上， 所以 ３ｘ０－ｙ０＋１＝０， －２ｘ０－ｙ０－６＝０ { ， ① ② ① ×６＋②得１６ｘ０－７ｙ０ ＝０， 即点Ａ在直线１６ｘ－７ｙ＝０上． 又直线１６ｘ－７ｙ＝０过原点， 即原点Ｏ和Ａ点确定的直线方程为１６ｘ－７ｙ＝０． 所以直线ｌ的方程为１６ｘ－７ｙ＝０． 解法回眸：本解法主要是抓住所求直线上的两个 点，利用这两个点的坐标满足结构相同的方程，然后抽 象出所求直线的方程． 书 一、两条直线的交点坐标 设两条直线的方程为： ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１ ＝０，ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２ ＝０，则两 条直线① 就是方程组 Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１ ＝０ Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２ ＝ { ０的解， （１）若方程组有惟一解，则两条直线 ② ， 此解就是③ ． （２）若方程组无解，则两条直线 ④ ，此时 两条直线⑤ ，反之，亦成立． 二、两点间的距离 平面上的两点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）间的距离为 ⑥ ． 特别地，坐标原点Ｏ（０，０）与任一点Ｐ（ｘ，ｙ）的距离 为⑦ ． 三、点到直线的距离 点Ｐ０（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ不全为 ０）的距离为⑧ ． 四、两条平行直线间的距离 两条平行直线ｌ１：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ１ ＝０与ｌ２：Ａｘ＋Ｂｙ＋ Ｃ２ ＝０的距离为⑨ ． （参考答案见本期） 书 一、巧求函数最值 函数的最值问题一直是我们学习的难点，尤其当 函数中含有两个根式时，更是难上加难，而学习中，我 们应“明知山有虎，偏向虎山行”． 例１求函数ｙ＝ ｘ２＋６ｘ＋槡 ７３＋ ｘ ２－４ｘ＋槡 ８的 最小值． 巧转妙解： 将原函数变形为 ｙ＝ （ｘ＋３）２＋（０－８）槡 ２ ＋ （ｘ－２）２＋（０－２）槡 ２，并理解为点（ｘ，０）到（－３，８） 与（２，２）距离之和，易得最小值即为点（－３，８）关于 ｘ 轴的对称点（－３，－８）与点（２，２）之间的距离，为５槡５． 所以原函数的最小值为５槡５． 赋诗一首： 稀奇稀奇真稀奇，两个根式坐一起．根式里面是二 次，二次里面藏秘密．合理变形看仔细，原是两点间距 离．数形结合来分析，对称思想显神奇． 二、巧证不等式 不等式的证明也是我们学习的一个难点，目前还 没有学到．没学到的问题一定不能解决吗？关于这个问 题，我们来看下面一道例题． 例２已知 ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是实数，求证： ａ２＋ｂ槡 ２ ＋ ｃ２＋ｄ槡 ２≥ （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡 ２． 巧转妙解： 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与 平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点 到原点的距离公式． 不妨设Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ）， 如图２所示，则 ｜ＡＢ｜＝ （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡 ２， ｜ＯＡ｜＝ ａ２＋ｂ槡 ２， ｜ＯＢ｜＝ ｃ２＋ｄ槡 ２． 在△ＯＡＢ中，由三角形三边