第5期 直线的倾斜角与斜率-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 １．下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的 是 （　　） ２．已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ上有点（ｃｏｓ２，ｓｉｎ２），则ｌ的倾 斜角α为 （　　） 　 　　 　　　　 　　 　　 　　 　　 （Ａ）π－２ （Ｂ）－２ （Ｃ）２－π２ （Ｄ）２ ３．（多选）已知直线ｌ的斜率的绝对值等于槡３，则直 线ｌ的倾斜角为 （　　） （Ａ）６０° （Ｂ）３０° （Ｃ）１５０° （Ｄ）１２０° ４．已知直线过两点 Ａ（ｘ，２），Ｂ（３，０），且斜率为 －１２，则ｘ的值是 ． ５．根据条件求下列倾斜角、斜率． （１）直线ｌ的倾斜角的正弦值是 １２，则直线ｌ的斜率 是 ． （２）若直线ｌ的斜率ｋ∈［－１，１］，求直线ｌ倾斜角 α的范围是 ． ６．求经过两点Ｐ１（２，１）和Ｐ２（ｍ，２）（ｍ∈Ｒ）的直 线ｌ的斜率． １．下列说法正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）如果两条直线平行，则它们的斜率相等 （Ｂ）如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 （Ｃ）如果两条直线斜率互为负倒数，则它们垂直 （Ｄ）如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行 于ｙ轴 ２．（多选）已知经过点Ａ（－２，０）和点Ｂ（１，３ａ）的直 线ｌ１与经过点Ｐ（０，－１）和点Ｑ（ａ，－２ａ）的直线ｌ２互 相垂直，则实数ａ的值为 （　　） （Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）－１ ３．已知四点 Ａ（－ｍ，０）， (Ｂ ０，－ｍ )３ ， (Ｃ － ｎ３， )０ ，Ｄ（０，ｎ）（ｍ≠０，ｎ≠０），则直线ＡＢ和ＣＤ的位置关 系是 （　　） （Ａ）平行 （Ｂ）垂直 （Ｃ）相交但不垂直 （Ｄ）与ｍ，ｎ的取值有关 ４．已知点Ａ（１，２），Ｂ（３，１），则线段 ＡＢ垂线的斜率 为 ． ５．直线ｌ１，ｌ２的斜率是方程ｘ ２－３ｘ－１＝０的两根， 则ｌ１与ｌ２的位置关系是 ． ６．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小 路，已知矩形花园长ＡＤ＝５ｍ，宽ＡＢ＝３ｍ，其中一条小 路为ＡＣ，另一条小路过点 Ｄ．请建立合适的平面直角坐 标系，在ＢＣ上找到一点Ｍ，使得两条小路ＡＣ与ＤＭ互相 垂直，并求｜ＢＭ｜． 书 一、倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 １．当直线 ｌ与 ｘ轴相交时，以 ｘ轴为基准，ｘ轴 ① 与直线ｌ② 之间所成的角α叫做直线 ｌ的倾斜角； ２．当直线ｌ与 ｘ轴平行或重合时，规定直线的倾斜 角为③ ； ３．直线的倾斜角α的范围为④ ． （二）直线的斜率 １．若直线的倾斜角 α不是 ９０°，则斜率 ｋ＝⑤ ； ２．若由Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）确定的直线不垂直于ｘ 轴，则ｋ＝⑥ ＝⑦ ； 经典讲解 直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的两个 重要特征，所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线 都有斜率．当倾斜角 α＝ π２时，直线的斜率不存在，此 时直线垂直于ｘ轴（平行于ｙ轴或与ｙ轴重合）． 例１设直线ｌ的斜率为ｋ＝ｌｎ１８，则直线ｌ的倾斜角 α的取值范围是 （　　） （Ａ）９０°＜α≤１８０° （Ｂ）９０°＜α＜１８０° （Ｃ）０°≤α＜９０° （Ｄ）０°＜α＜９０° 解析：因为０＜ １８ ＜１，所以ｋ＝ｌｎ １ ８ ＜０， 所以倾斜角为钝角． 故选（Ｂ）． 点评：当倾斜角０°≤α＜９０°时，斜率ｋ随倾斜角α 的增大而增大，其范围为［０，＋∞）；当倾斜角９０°＜α＜ １８０°时，斜率 ｋ随倾斜角 α的增大而增大，其范围为 （－∞，０）． 二、两条直线垂直和平行的判定 （一）两条直线平行 对于两条不重合的直线 ｌ１，ｌ２，若其斜率分别为 ｋ１， ｋ２，则有ｌ１∥ｌ２⑧ ． 特别地，当直线 ｌ１，ｌ２的斜率都不存在时，亦有 ⑨ ． （二）两条直线垂直 如果两条直线 ｌ１，ｌ２的斜率存在，设为 ｋ１，ｋ２，则有 ｌ１⊥ｌ２⑩ ．特别地，当其中一条直线的斜率 不存在，而另一条直线的斜率为０，亦有瑏瑡 ． 经典讲解 判断两条直线平行、垂直时，不要忘记考虑两条直 线中有一条或两条均无斜率的情形． 例２判断下列直线ｌ１与ｌ２的位置关系． （１）直线ｌ１经过两点Ａ（－３，２），Ｂ（－３，１０），直线ｌ２ 经过两点Ｍ（５，－２），Ｎ（５，５）； （２）直线ｌ１经过两点 Ａ（３，４），Ｂ（３，９９），直线 ｌ２经 过两点Ｍ（－８，４），Ｎ（８，４）． 解析：（１）因为直线ｌ１经过两点Ａ（－３，２），Ｂ（－３， １０），所以直线ｌ１的斜率不存在． 因为直线ｌ２经过两点Ｍ（５，－２），Ｎ（５，５）， 所以直线ｌ２的斜率也不存在． 又直线ｌ１与ｌ２上点的横坐标不相等， 所以直线ｌ１与ｌ２平行． （２）因为直线ｌ１经过两点Ａ（３，４），Ｂ（３，９９）， 所以直线ｌ１的斜率ｋ１不存在． 因为直线ｌ２经过两点Ｍ（－８，４），Ｎ（８，４）， 所以直线ｌ２的斜率ｋ２ ＝０． 由此知直线ｌ１垂直于