第2期 空间向量的应用-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 空间向量的引入，使立体几何问题的难度大大降 低．因此，正确理解和运用向量方法，对备战高考有重要 意义． 一、异面直线ｍ，ｎ所成的角 例１直棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＢＢ１ ＝ ｃ，求异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余 弦值． 解：如图１，以 Ｂ为坐标原点，ＢＡ， ＢＣ，ＢＢ１所在的直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建 立空间直角坐标系，则 Ａ（ａ，０，０）， Ｂ１（０，０，ｃ），Ｃ１（０，ｂ，ｃ），ＡＢ → １＝（－ａ，０，ｃ），ＢＣ → １＝（０，ｂ， ｃ）， 故ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ＢＣ→ １〉＝ ＡＢ→ １·ＢＣ→ １ ｜ＡＢ→ １｜·｜ＢＣ→ １｜ ＝ ｃ ２ （ａ２＋ｃ２）（ｂ２＋ｃ２槡 ） ， 所以异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余弦值为 ｃ２ （ａ２＋ｃ２）（ｂ２＋ｃ２槡 ） ． 二、直线ｌ与平面α所成的角 例２已知正三棱柱 ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的侧棱长为２，底面边长为１．求ＡＢ１与 侧面ＡＣＣ１Ａ１所成角的正弦值． 解：如图２，建立以 Ａ为坐标原点 的空间直角坐标系，则ＡＡ→ １＝（０，０，２）， →ＡＣ＝（０，１，０），设平面ＡＣＣ１Ａ１的一个 法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则有 ｎ⊥ＡＡ→ １ ｎ⊥ → }ＡＣ  ２ｚ＝０ ｙ＝ }０ ｙ＝ｚ＝０， 所以ｎ＝（ｘ，０，０）， 取ｎ＝（１，０，０）， 则｜ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ｎ〉｜＝ ｜ＡＢ→ １·ｎ｜ ｜ＡＢ→ １｜·｜ｎ｜ ( ＝ 槡３ ２， １ ２， )２ ·（１，０，０ ( ） 槡３)２ ２ (＋ １ )２ ２ ＋２槡 ２· １槡 ２ ＝槡１５１０， 故ＡＢ１与侧面ＡＣＣ１Ａ１所成角的正弦值为槡 １５ １０． 三、二面角 例３如图３，在长方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ分别是棱ＢＣ， ＣＣ１上的点，ＣＦ＝ＡＢ＝２ＣＥ，ＡＢ∶ ＡＤ∶ＡＡ１ ＝１∶２∶４． （１）求证：ＡＦ⊥平面Ａ１ＥＤ； （２）求平面 Ａ１ＥＤ与平面 ＦＥＤ夹角的正弦值． 解：如图４，建立空间直角坐 标系Ａｘｙｚ，不妨设ＡＢ＝１，则Ａ（０， ０，０），Ｄ（０，２，０），Ｅ１，３２，( )０， Ｆ（１，２，１），Ａ１（０，０，４）． （１）因为→ＡＦ＝（１，２，１）， Ａ１ → Ｅ＝ １，３２，－( )４，Ａ１→ Ｄ＝ （０，２，－４）， 所以 →ＡＦ·Ａ１→ Ｅ＝１＋２× ３ ２－４＝０， →ＡＦ·Ａ１→ Ｄ＝２×２－４＝０， 所以ＡＦ⊥Ａ１Ｅ，ＡＦ⊥Ａ１Ｄ， 因为Ａ１Ｅ∩Ａ１Ｄ＝Ａ１， 所以ＡＦ⊥平面Ａ１ＥＤ． （２）设平面ＥＦＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 因为 →ＥＦ＝ ０，１２，( )１，→ＥＤ＝ －１，１２，( )０， 所以由ｎ·→ＥＦ＝０，ｎ·→ＥＤ＝０，得 １ ２ｙ＋ｚ＝０， －ｘ＋１２ｙ＝０ { ， 令ｚ＝１，则ｘ＝－１，ｙ＝－２． 所以ｎ＝（－１，－２，１）． 由（１）可知→ＡＦ＝（１，２，１）是平面Ａ１ＥＤ的一个法向 量，设平面Ａ１ＥＤ与平面ＦＥＤ夹角为θ，则观察图形可知 θ为锐角，所以ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈→ＡＦ，ｎ〉｜ ＝ （１，２，１）·（－１，－２，１） （槡６） ２ ＝ ２ ３， 所以ｓｉｎθ＝ １－ ２( )３槡 ２ ＝槡５３． 所以平面Ａ１ＥＤ与平面ＦＥＤ夹角的正弦值为槡 ５ ３． 书 法向量：直线ｌ⊥平面α，取直线ｌ的方向向量ｖ，则 称向量ｖ为平面α的法向量． 一、用空间向量研究直线、平面的位置关系 １．设ｕ是直线ｌ的方向向量，ｖ是平面α的法向量， 要证ｌ∥α，只需证ｕ⊥ｖ，即证① ． ２．设ｕ是直线ｌ的方向向量，ｖ是平面α的法向量， 要证ｌ⊥α，只需证ｕ∥ｖ，即证存在一个非零常数λ，使 ② ． ３．设ｖ１，ｖ２分别为平面α，β的法向量，要证α∥β， 只需证明 ｖ１∥ ｖ２，即证存在一个非零常数 λ，使 ｖ１ ＝ λｖ２． ４．设ｖ１，ｖ２分别为平面α，β的法向量，要证α⊥β， 只需证明ｖ１⊥ｖ２，即证③ ． 二、用空间向量研究距离、夹角问题 １．点到直线的距离 已知直线ｌ的单位方向向量为ｕ，Ａ∈ｌ，Ｐｌ，令→ＡＰ ＝ａ，则点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ＝① ． ２．平面外一点Ｐ到平面的距离 Ａ∈α，Ｐα，过Ｐ作α的垂线ｌ交α于点Ｑ，ｎ为ｌ 的方向向量，则｜ＰＱ｜＝② ． ３．利用空间向量求异面直线所成的角 如图１，ａ，ｂ是异面直线，点Ａ，Ｂ在直线ａ上，点Ｃ，Ｄ 在直线ｂ上． 设ａ，ｂ所成的角为θ，则ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈→ＡＢ，→ＣＤ〉｜＝ ③ ． 注：异面直线所成的角 θ∈ ④ ，而两个向 量夹角的取值范围是 ⑤ ，所以两条异面直线 所成的角与它们的方向向量的夹角相等或互补． ４．利用空间向量求直线和平面所成的角 如图２，直线ａ的