第1期 空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 高中数学 选择性必修第一册 人教Ａ版 编辑计划 ２０２３年７～１２月 第１期　空间向量 及其运算、空间向量基 本定理、空间向量及其 运算的坐标表示 第２期　空间向量 的应用 第３期　第一章综 合 第４期　阶段性核 心素养测评（一） 第５期　直线的倾 斜角与斜率 第６期　直线的方 程 第７期　直线的交 点坐标与距离公式 第８期　圆的方程 第９期 　 直线与 圆、圆与圆的位置关系 第１０期　第二章 综合 第１１期　阶段性 核心素养测评（二） 第１２期　椭圆 第１３期　双曲线 第１４期　抛物线 第１５期　第三章 综合 第１６期　阶段性 核心素养测评（三） 第１７期　选择性 必修第一册复习（一） 第１８期　选择性 必修第一册复习（二） 第１９期　数列的 概念、等差数列 第２０期　等比数 列 （下转２，３版中缝） 书 从近几年高考看，空间向量的题目几乎都离不开空 间向量的坐标运算 ．运用空间向量的坐标运算可以解决有 关定量和定性的问题．下面举例说明，供大家参考． 一、求长度 例１已知 Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标分别是（２，－１，２）， （４，５，－１），（－２，２，３），且→ＡＭ＝１２（ →ＡＢ－２→ＡＣ），求向量 →ＡＭ的模． 分析：利用向量的坐标运算求出 →ＡＢ，→ＡＣ的坐标，便 可得 →ＡＭ的坐标，再由→ＡＭ的坐标求模． 解： →ＡＢ＝（２，６，－３），→ＡＣ＝（－４，３，１）， 则 →ＡＭ ＝ １２（ →ＡＢ－２→ＡＣ）＝ ５，０，－５( )２ ， 所以｜→ＡＭ｜＝ ５２＋０２＋ －５( )２槡 ２ ＝５槡５２． 点评：本题给出了确定未知向量的坐标的方法，关 键是正确地进行向量的坐标运算． 二、求角度 例 ２ 已知空间三点 Ａ（１，２，３），Ｂ（２，－１，５）， Ｃ（３，２，－５），设ａ＝→ＡＢ，ｂ＝→ＡＣ，若ａ与ｂ的夹角为θ， 求ｃｏｓθ． 分析：要求ｃｏｓθ，则应利用向量夹角的坐标公式进 行计算． 解：因为 →ＡＢ＝（１，－３，２），→ＡＣ＝（２，０，－８）， 所以｜ａ｜＝｜→ＡＢ｜＝ １２＋（－３）２＋２槡 ２ ＝槡１４， ｜ｂ｜＝｜→ＡＣ｜＝ ２２＋０２＋（－８）槡 ２ ＝２槡１７． 所以ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ａ｜｜ｂ｜＝－ 槡２３８ ３４ ． 点评：利用向量的夹角的坐标公式，我们可以求出 空间向量的夹角，进而解决空间中的夹角问题，这也是 向量法求空间角的最重要的思路． 三、处理平行问题 例３已知 Ａ（１，５，－２），Ｂ（２，４，４），Ｃ（ａ，３，ｂ＋２）， 如果Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则ａ＋ｂ＝ ． 分析：Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，可转化为→ＡＢ∥ →ＡＣ． 解：因为 Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＡＢ∥ →ＡＣ，而→ＡＢ＝ （１，－１，６），→ＡＣ＝（ａ－１，－２，ｂ＋４），则ａ－１１ ＝ －２ －１＝ ｂ＋４ ６ ，所以ａ＝３，ｂ＝８．所以ａ＋ｂ＝１１． 点评：三点共线问题一般可转化为两向量平行问题 来求解，而用坐标法判定两向量平行则主要依据以下定 理：若 ｂ≠ ０，ａ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 ａ∥ｂｘ１ ＝λｘ２，ｙ１ ＝λｙ２，ｚ１ ＝λｚ２． 四、处理垂直问题 例４已知ａ＝（２，－１，３），ｂ＝（－４，２，ｘ），ｃ＝（１， －ｘ，２），若（ａ＋ｂ）⊥ｃ，则ｘ＝ ． 分析：先运用向量的坐标运算法则计算出 ａ＋ｂ的 坐标，再利用向量垂直的充要条件列方程，解之即得ｘ． 解：ａ＋ｂ＝（－２，１，ｘ＋３），ｃ＝（１，－ｘ，２）． 因为（ａ＋ｂ）⊥ｃ， 所以 －２－ｘ＋２（ｘ＋３）＝０，解得ｘ＝－４． 点评：破解此题的主要依据是空间向量垂直的充要 条件，通过列方程即可求解． 书 一、空间向量及其线性运算 （一）空间向量的概念 １．在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 ① ，它的大小叫做② ． ２．（１）长度为０的向量叫做③ ，记为 ④ ． （２）当有向线段的起点 Ａ与终点 Ｂ重合时， ⑤ ． （３）模为１的向量叫做⑥ ． （４）与向量ａ长度相等而方向相反的向量，叫做 ａ 的⑦ ，记为⑧ ． ３．（１）如果表示若干空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，那么这些向 量 叫 做 ⑨ 或⑩ ． （２）规定：瑏瑡 与任意向量平行，即对 于任意向量ａ，都有瑏瑢 ． （３）方向瑏瑣 且模瑏瑤 的向量叫做 相等向量． （二）线性运算 １．空间向量的线性运算满足以下运算律（其中 λ，μ ∈Ｒ）： 交换律：ａ＋ｂ＝瑏瑥 ； 结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝瑏瑦 ， λ（μａ）＝瑏瑧 ； 分配律：（λ＋μ）ａ＝瑏瑨 ， λ（ａ＋ｂ）＝瑏瑩 ． ２．（１）在直线ｌ上取非零向量ａ，与向量ａ平行的非 零向量称为直线ｌ的瑐瑠 ． （２）平行于同一个