第9期 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题　１～４　ＤＣＣＢ　５～８　ＣＢＡＡ 二、多项选择题 ９．ＢＣ；　１０．ＡＤ；　１１．ＣＤ；　１２．ＡＣ． 三、填空题 １３．ｌｎ３；　１４．１；　１５．ｅ－１；　１６ [． １ｅ，ｅ ]２ ． 四、解答题 １７．解：（１）当ａ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｘ－２ｌｎｘ，ｆ′（ｘ）＝１－２ｘ， 则ｆ（１）＝１，ｆ′（１）＝－１， 所以曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ａ（１，ｆ（１））处的切线方程为 ｙ－１＝－（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－２＝０． （２）由ｆ′（ｘ）＝１－ａｘ ＝ ｘ－ａ ｘ （ｘ＞０）知： ①当ａ≤０时，ｆ′（ｘ）＞０，函数ｆ（ｘ）为（０，＋∞）上的增函 数，函数ｆ（ｘ）无极值； ②当ａ＞０时，由ｆ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ａ，又当ｘ∈（０，ａ） 时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０， ｆ（ｘ）单调递增，从而函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处取得极小值，且极小值 为ｆ（ａ）＝ａ－ａｌｎａ，无极大值． 综上，当ａ≤０时，函数ｆ（ｘ）无极值；当ａ＞０时，函数ｆ（ｘ） 在ｘ＝ａ处取得极小值ａ－ａｌｎａ，无极大值． １８．解：（１）由题意知，ｆ′（ｘ）＝ ２ｘ－ａ，直线２ｘ＋ｙ－３＝０ 的斜率为 －２，因为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在ｘ＝２处的切线与直 线２ｘ＋ｙ－３＝０平行，所以ｆ′（２）＝１－ａ＝－２，解得ａ＝３． （２）由（１）可知，ｆ（ｘ）＝２ｌｎｘ－３ｘ， 从而ｇ（ｘ）＝ １２ｘ ２－（ｂ＋３）ｘ＋２ｌｎｘ，ｘ∈（０，＋∞）， 则ｇ′（ｘ）＝ｘ＋２ｘ－（ｂ＋３）， 因为函数ｇ（ｘ）存在单调递减区间， 所以ｇ′（ｘ）＝ｘ＋２ｘ－（ｂ＋３）＜０在（０，＋∞）上有解， 即ｂ＋３＞ｘ＋２ｘ在（０，＋∞）上有解， 当ｘ＞０时，ｘ＋２ｘ≥２ ｘ· ２ 槡 ｘ ＝ 槡２２， 当且仅当ｘ＝ ２ｘ，即ｘ＝槡２时，ｘ＋ ２ ｘ取得最小值 槡２２， 所以ｂ＋３＞ 槡２２，即ｂ＞－３＋ 槡２２， 故ｂ的取值范围为（－３＋ 槡２２，＋∞）． １９．（１）证明：由题易知ｘ∈（０，＋∞）， 设ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ＋１，则ｇ′（ｘ）＝ｌｎｘ， 当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＞０；当０＜ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＜０， 所以ｇ（ｘ）在ｘ＝１处取得最小值ｇ（１）＝０， 所以ｇ（ｘ）≥０，即ｆ（ｘ）≥ｘ－１． （２）解：由 已 知 得 ａ≥ ｘｌｎｘ＋ｘ＋１ ｘ２＋１ ，设 ｈ（ｘ） ＝ ｘｌｎｘ＋ｘ＋１ ｘ２＋１ ，则ｈ′（ｘ）＝（１－ｘ）（ｘｌｎｘ＋ｌｎｘ＋２） （ｘ２＋１）２ ， 因为ｙ＝ｘｌｎｘ＋ｌｎｘ＋２是增函数， 所以当ｘ≥ １ｅ时，ｙ≥－ １ ｅ－１＋２＞０， 所以当ｘ (∈ １ｅ， )１ 时，ｈ′（ｘ）＞０； 当ｘ∈（１，＋∞）时，ｈ′（ｘ）＜０， 所以ｈ（ｘ）在ｘ＝１处取得最大值ｈ（１）＝１， 所以ａ≥１，即实数ａ的取值范围是［１，＋∞）． ２０．解：（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ， 则ｆ（２）＝ ５２，ｆ′（ｘ）＝１－ １ ｘ２ ， 所以所求切线的斜率为ｋ＝ｆ′（２）＝１－１４ ＝ ３ ４． 故所求的切线方程为ｙ－５２ ＝ ３ ４（ｘ－２），即３ｘ－４ｙ＋４＝０． （２）ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）， ｆ′（ｘ）＝ａ－１ｘ ＋１－ ａ ｘ２ ＝ｘ ２＋（ａ－１）ｘ－ａ ｘ２ ＝（ｘ＋ａ）（ｘ－１） ｘ２ ． ①当ａ≥０时，当ｘ∈（０，１）时，ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（１，＋∞） 时，ｆ′（ｘ）＞０．所以ｆ（ｘ）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）上 单调递增． ②当ａ＜０时，令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝－ａ或ｘ＝１． （ⅰ）当 －１＜ａ＜０时，０＜－ａ＜１． 当ｘ∈（０，－ａ）∪（１，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０， 当ｘ∈（－ａ，１）时，ｆ′（ｘ）＜０． 所以ｆ（ｘ）在（０，－ａ）和（１，＋∞）上单调递增，在（－ａ，１） 上单调递减． （ⅱ）当ａ＝－１时，ｆ′（ｘ）≥０对ｘ∈（０，＋∞）恒成立， 所以ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增． （ⅲ）当ａ＜－１时，－ａ＞１， 当ｘ∈（０，１）∪（－ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０； 当ｘ∈（１，－ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０． 所以ｆ（ｘ）在（０，１）和（－ａ，＋∞）上单调递增，在（１，－ａ） 上单调递减． ２１．（１）证明：方程ｆ（ｘ）＝０有两个不同的实数根， 即ｍ＝ｌｎｘ＋ｘ＋２ｘ有两个不同的实数根， 令ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ＋２ｘ（ｘ＞０）， 则函数ｙ＝ｍ和ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ＋２ｘ有两个不同的交点， 而ｈ′（ｘ）＝ １ｘ＋１－ ２ ｘ２ ＝（ｘ＋２）（ｘ－１） ｘ２ ， 令ｈ′（ｘ）＞０，解得ｘ＞１，令ｈ′（ｘ）＜０，解得０＜ｘ＜１， 故ｈ（ｘ）在（０，１）上递减，在（１，＋∞）上递!， 所以ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝３，则ｍ＞３， 故ｆ（１）＝３－ｍ＜０． （２）解：若存在ｘ [∈ １ｅ， ]