第7期 导数在研究函数中的应用-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

! " #! !"#$" $"% ! !"!#&$'%&( !"# $%&'( )*+, 书 ２０．（本小题满分１２分）（２０２３广东省湛江市调研） 设函数ｆ（ｘ）＝ｘ－２ｘ－ａｌｎｘ－ １ ｘ( )２ （ａ＞０）． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）记函数ｆ（ｘ）的最小值为ｇ（ａ），证明：ｇ（ａ）＜１． ２１．（本小题满分１２分）（２０２２广东广州一模）已知 函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ，ｆ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导数． （１）证明：当ｘ≥０时，ｆ′（ｘ）≥２； （２）设ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－２ｘ－１，证明：ｇ（ｘ）有且仅有 ２个零点． ２２．（本小题满分１２分）（２０２３山东省泰安市期中） 已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｍｘ２＋ｎｘ＋１的图象在ｘ＝１处 的切线过点 １ ２，( )１２ ． （１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性； （２）若函数ｇ（ｘ）＝－ｆ（ｘ）＋ｘ＋１（ｍ＞０）有两个 极值点ｘ１，ｘ２．证明：ｇ（ｘ１）＋ｇ（ｘ２）＞３－２ｌｎ２                                                                               ． 书 一、单项选择题 １～４　ＢＢＣＤ　５～８　ＡＡＢＡ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＢ；　１２．ＢＣＤ． 三、填空题 １３．１；　１４．２；　１５．３；　１６．２． 四、解答题 １７．解：（１）由题得ｆ′（ｘ）＝ １２ｆ′（１）ｘ＋２ｆ（１）， 则 ｆ（１）＝ １４ｆ′（１）＋２ｆ（１）－４， ｆ′（１）＝ １２ｆ′（１）＋２ｆ（１ { ）， 解得 ｆ（１）＝２，ｆ′（１）＝８{ ， 所以ｆ（ｘ）＝２ｘ２＋４ｘ－４． （２）设切点坐标为（ｘ０，２ｘ２０＋４ｘ０－４）， 由（１）得ｆ′（ｘ）＝４ｘ＋４，则ｆ′（ｘ０）＝４ｘ０＋４， 所以切线方程为ｙ－（２ｘ２０＋４ｘ０－４）＝（４ｘ０＋４）（ｘ－ｘ０）， 将（０，－６）代入切线方程整理得ｘ２０ ＝１，解得ｘ０ ＝±１． 当ｘ０ ＝－１时，切线方程为ｙ＝－６； 当ｘ０ ＝１时，切线方程为ｙ＝８ｘ－６， 所以经过点（０，－６）且与曲线ｙ＝ｆ（ｘ）相切的直线方程为 ｙ＝－６或ｙ＝８ｘ－６． １８．解：（１）由题可得ｆ′（ｘ）＝ｅｘ＋ａ， 则 ｆ′（０）＝１＋ａ＝０， ｆ（０）＝１＋ｂ＝ａ－ｂ{ ，解得ａ＝－１，ｂ＝－１． （２）由（１）得ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－１， 因为不等式ｆ（ｘ）＞ｍｘ－１在ｘ [∈ １ｅ， ]ｅ 上恒成立， 所以ｅｘ－ｘ＞ｍｘ在ｘ [∈ １ｅ， ]ｅ 上恒成立， 即ｍ＜ｅ ｘ ｘ －１在ｘ [∈ １ｅ， ]ｅ 上恒成立． 令ｇ（ｘ）＝ｅ ｘ ｘ －１，ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ（ｘ－１） ｘ２ ， 令ｇ′（ｘ）＝ｅ ｘ（ｘ－１） ｘ２ ＝０，解得ｘ＝１． 当 １ ｅ≤ｘ≤１时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）为减函数， 当１＜ｘ≤ｅ时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）为增函数． 所以ｇ（ｘ）的最小值为ｇ（１）＝ｅ－１，所以ｍ＜ｅ－１， 即正实数ｍ的取值范围为（０，ｅ－１）． １９．解：（１）设曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上的点Ａ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ的距 离最短，则函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线与直线ｌ平行， 因为ｆ′（ｘ０）＝ １ ｘ０ ＝１，所以ｘ０ ＝１，求得ｙ０ ＝１， 所以函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线方程为ｙ＝ｘ， 所以点Ａ到直线ｌ的最短距离等于｜１－１＋２｜ 槡２ ＝槡２． （２）由题意得ｇ（ｘ）＝１２ｘ ２－（ａ＋１）ｘ＋ｌｎｘ＋１（０＜ｘ＜３）， 所以ｇ′（ｘ）＝ｘ－（ａ＋１）＋１ｘ ＝ ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１ ｘ ， 因为曲线ｙ＝ｇ（ｘ）上存在两个不同的点，使得在这两点处 的切线都与ｘ轴平行， 所以关于ｘ的方程ｇ′（ｘ）＝０， 即ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１＝０在（０，３）上有两个不同的根， 设ｈ（ｘ）＝ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１， 则 Δ＝（ａ＋１）２－４＞０， ｈ（０）＝１＞０， ０＜ａ＋１２ ＜３， ｈ（３）＝９－３（ａ＋１）＋１＞０ { ， 解得１＜ａ＜ ７３， 所以实数ａ (的取值范围是 １， )７３ ． ２０．解：（１）当ａ＝－１时，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ －ｘ＋１， ｆ′（ｘ）＝－ｌｎｘ ｘ２ －１，则ｆ（１）＝１，ｆ′（１）＝－１， 故所求切线方程为ｙ－１＝－（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－２＝０． （２）函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ ＋ａ（ｘ－１）的定义域为（０，＋∞）， 且ｆ′（ｘ）＝－ｌｎｘ ｘ２ ＋ａ．由ｆ′（ｘ）＝０得ａ＝ｌｎｘ ｘ２ ， 所以方程ｆ′（ｘ）＝０有两个根等价于直线ｙ＝ａ与曲线ｙ＝ ｌｎ