第6期 导数的概念与运算-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 ２０．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ｘ ＋ ａ（ｘ－１）． （１）若ａ＝－１，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的 切线方程； （２）若方程ｆ′（ｘ）＝０有两个根，求实数ａ的取值范围． ２１．（本小题满分１２分）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ １ ２ａｘ ２＋１． （１）证明：曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线恒过定 点，并求出该定点的坐标； （２）若关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）≤（ａ－１）ｘ恒成立，求 整数ａ的最小值． ２２．（本小题满分１２分）对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），如果其 图象上存在不同的两点 Ａ（ｘ１，ｆ（ｘ１）），Ｂ（ｘ２，ｆ（ｘ２）），ｘ１ ＜ｘ２，使得这两点处的切线重合，那么我们称函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）存 在 “双 切 点 切 线”． 已 知 函 数 ｈ（ｘ） ＝ ｘ２＋３ｘ＋ａ，ｘ＜０， －１ｘ， ｘ＞０ { ． （１）若函数ｈ（ｘ）的一条“双切点切线”的斜率等于 １，切点Ａ，Ｂ的横坐标满足ｘ１ ＜０＜ｘ２，求实数ａ的值； （２）如果函数ｈ（ｘ）存在“双切点切线”，求实数ａ的 取值范围                                                                                       ． 书 一、单项选择题 １～４　ＣＤＢＢ　５～８　ＢＢＡＣ 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＤ；　１１．ＡＢＤ；　１２．ＢＣ． 三、填空题 １３．ｘ＝２；　１４．（－∞，０）；　１５．［－８，－１］；　１６．－３１４． 四、解答题 １７．解：（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝２ｘ２＋４ｘ＋２． 令ｔ＝ｘ２＋４ｘ＋２＝（ｘ＋２）２－２≥－２， 因为ｙ＝２ｔ在Ｒ上单调递增，所以２ｘ２＋４ｘ＋２≥２－２ ＝ １４， 即ｆ（ｘ） [的值域为 １４，＋ )∞ ． （２）令ｍ＝ａｘ２＋４ｘ＋２，因为函数ｙ＝２ｍ在Ｒ上单调递增， 所以要使函数ｆ（ｘ）有最大值１６， 则ｍ＝ａｘ２＋４ｘ＋２的最大值为４， 于是 ａ＜０， (ａ －４２ )ａ ２ ＋ (４ －４２ )ａ ＋２＝４{ ，解得ａ＝－２． １８．解：（１）因为幂函数ｆ（ｘ）＝（ｋ２－４ｋ＋５）ｘ－ｍ２＋４ｍ， 所以ｋ２－４ｋ＋５＝１，解得ｋ＝２． 又因为幂函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增， 所以 －ｍ２＋４ｍ＞０，解得０＜ｍ＜４， 因为ｍ∈Ｚ，所以ｍ＝１或ｍ＝２或ｍ＝３， 当ｍ＝１或ｍ＝３时，ｆ（ｘ）＝ｘ３，图象关于原点对称，不合 题意；当ｍ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｘ４，图象关于ｙ轴对称，符合题意． 综上，ｍ＝２，ｋ＝２． （２）由（１）可得ｍ＝２， 所以（２ａ－１）－３ ＜（ａ＋２）－３， 而函数ｙ＝ｘ－３在（－∞，０）和（０，＋∞）上均单调递减， 且当ｘ＞０时，ｙ＝ｘ－３ ＞０，当ｘ＜０时，ｙ＝ｘ－３ ＜０， 所以满足不等式的条件为０＜ａ＋２＜２ａ－１或ａ＋２＜２ａ －１＜０或２ａ－１＜０＜ａ＋２， 解得 －２＜ａ＜ １２或ａ＞３， 故满足不等式（２ａ－１）－３＜（ａ＋２）－ ３ｍ ２的ａ ( 的取值范围为 －２， )１２ ∪（３，＋∞）． １９．解：（１）由题意，设ｆ（ｘ）＝ａｘ（ａ＞０，且ａ≠１）， 因为ｆ（ｘ） (的图象过点 １２，槡２)２ ， 所以ａ １ ２ ＝槡２２，解得ａ＝ １ ２， 故函数ｆ（ｘ）的解析式为ｆ（ｘ） (＝ )１２ ｘ ． （２）因为ｇ（ｘ）＝ｆ（２ｘ）－ｍｆ（ｘ－１）＋１， 所以ｇ（ｘ） (＝ )１２ ２ｘ －２ (ｍ )１２ ｘ ＋１， 令 (ｔ＝ )１２ ｘ ，ｔ∈（０，２），所以ｙ＝ｔ２－２ｍｔ＋１，ｔ∈（０，２）． 函数ｇ（ｘ） (＝ )１２ ２ｘ －２ (ｍ )１２ ｘ ＋１在（－１，＋∞）上 有两个零点， 等价于ｙ＝ｔ２－２ｍｔ＋１在ｔ∈（０，２）上有两个零点， 则 ０２－２ｍ×０＋１＞０， ２２－２ｍ×２＋１＞０， Δ＝（－２ｍ）２－４×１×１＞０， ０＜－－２ｍ２ ＜２ { ， 即 １＞０， ｍ＜ ５４， ｍ２ ＞１， ０＜ｍ＜２ { ， 解得１＜ｍ＜ ５４，故实数ｍ (的取值范围为 １， )５４ ． ２０．解：（１）当ｔ≥１时， (ｃ＝ｋ )１２ ｔ ，因为函数的图象过点 （２，１０），所以 (ｋ )１２ ２ ＝１０，解得ｋ＝４０， 所以当ｔ＝１时，ｃ＝４０ (× )１２ １ ＝２０． 当０≤ｔ≤１时，ｃ＝ｍ（２ｔ－１）， 因为函数的图象过点（１，２０）， 所以ｍ＝２０，所以ｃ＝２０·２ｔ－２０． 由２０·２ｔ－２０≥１０，得２ｔ≥ ３２， 所以ｔ≥ｌｏｇ２ ３ ２ ＝ ｌｇ３－ｌｇ２