第5期 基本初等函数（幂、指、对数函数）、函数与方程-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题 １～４　ＤＡＢＡ　５～８　ＤＣＣＤ 二、多项选择题 ９．ＢＣ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＡＣＤ；　１２．ＡＣＤ． 三、填空题 １３ [． ６５， )３ ；　１４．１－ｅ２１＋ｅ２；　１５ (． －∞，１３]１２ ； １６．（－∞，－１）∪（０，１）． 四、解答题 １７．解：因为ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋２ｘ＝ｘ２＋（ｂ＋２）ｘ＋ｃ为偶函数， 且定义域为Ｒ，关于ｙ轴对称，所以ｇ（ｘ）＝ｇ（－ｘ）， 即ｘ２＋（ｂ＋２）ｘ＋ｃ＝（－ｘ）２＋（ｂ＋２）×（－ｘ）＋ｃ， 整理得２（ｂ＋２）ｘ＝０， 又因为ｘ不恒为０，所以ｂ＋２＝０，解得ｂ＝－２， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋ｃ， 因为ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ｃ－１，对称轴为ｘ＝１， 所以ｆ（ｘ）在［－２，１）上单调递减，在（１，２］上单调递增， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｍａｘ｛ｆ（－２），ｆ（２）｝， 且ｆ（－２）＝ｃ＋８，ｆ（２）＝ｃ，所以ｃ＋８＝５，解得ｃ＝－３， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ－３． １８．解：若ｘ≤－１，则ｘ－３＜０，ｘ＋１≤０， 所以ｆ（ｘ）＝－（ｘ－３）＋（ｘ＋１）＝４； 若 －１＜ｘ≤３，则ｘ－３≤０，ｘ＋１＞０， 所以ｆ（ｘ）＝－（ｘ－３）－（ｘ＋１）＝－２ｘ＋２； 若ｘ＞３，则ｘ－３＞０，ｘ＋１＞０， 所以ｆ（ｘ）＝（ｘ－３）－（ｘ＋１）＝－４． 所以ｆ（ｘ）＝ ４， －２ｘ＋２， －４ { ， 　 ｘ≤－１， －１＜ｘ≤３， ｘ＞３． （１）当 －１＜ｘ≤３时，－４≤－２ｘ＋２＜４， 所以ｆ（ｘ）的值域为［－４，４）∪｛４｝∪｛－４｝，即［－４，４］． （２）ｆ（ｘ）＞０，即 ｘ≤－１， ４＞{ ０ 或 －１＜ｘ≤３，－２ｘ＋２＞{ ０或 ｘ＞３，－４＞０{ ， 解得ｘ≤－１或 －１＜ｘ＜１， 所以ｆ（ｘ）＞０的解集为（－∞，１）． （３）ｆ（ｘ）的图象如右图所示， 由图可知，若直线ｙ＝ａ与ｆ（ｘ）的 图象无交点，则ａ的取值范围为（－∞， －４）∪（４，＋∞）． １９．解：（１）设ｘ＜０，则 －ｘ＞０， 因为函数ｈ（ｘ）是奇函数， 所以ｈ（ｘ）＝－ｈ（－ｘ） ＝－２ｘ２－３ｘ－１． 所以ｈ（ｘ）＝ －２ｘ２－３ｘ－１， ｘ＜０， ０， ｘ＝０， ２ｘ２－３ｘ＋１， ｘ＞０ { ． （２）由ｇ（ｘ）＝－ｆ（ｘ）＋ｍｘ＋１得ｇ（ｘ）＝－２ｘ２＋（３＋ｍ）ｘ． 即ｇ（ｘ）是二次函数且开口向下，对称轴ｘ＝３＋ｍ４ ， 当ｘ∈［１，２］时，ｇ（ｘ）的最大值为２， ①当３＋ｍ４ ≤１，即ｍ≤１时，ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝－２＋３＋ ｍ＝２，解得ｍ＝１； ②当１＜３＋ｍ４ ＜２，即１＜ｍ＜５时，ｇ（ｘ）ｍａｘ (＝ｇ ３＋ｍ)４ ＝ｍ ２＋６ｍ＋９ ８ ＝２，解得ｍ＝１（舍）或ｍ＝－７（舍）； ③当３＋ｍ４ ≥２，即ｍ≥５时，ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（２）＝－８＋２ｍ ＋６＝２，解得ｍ＝２（舍）； 综上所述ｍ的值为１． ２０．解：（１）因为函数ｇ（ｘ）＝２ｘ－ａ ２ｘ 是奇函数，定义域为Ｒ， 所以ｇ（－ｘ）＝－ｇ（ｘ），令ｘ＝０，有ｇ（０）＝０， 即１－ａ＝０，解得ａ＝１， 经检验符合题意，所以ｇ（ｘ）＝２ｘ－１ ２ｘ ， 又因为函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，函数ｙ＝－１ ２ｘ 在Ｒ上 单调递增，所以函数ｇ（ｘ）是Ｒ上的增函数． （２）不等式ｇ（ｔ２－２ｔ）＋ｇ（２ｔ２－ｋ）＞０等价于 ｇ（ｔ２－２ｔ）＞－ｇ（２ｔ２－ｋ）＝ｇ（ｋ－２ｔ２）， 因为函数ｇ（ｘ）是Ｒ上的增函数， 所以ｔ２－２ｔ＞ｋ－２ｔ２，即３ｔ２－２ｔ＞ｋ， 而３ｔ２－２ｔ＝ (３ ｔ－ )１３ ２ －１３≥－ １ ３，所以ｋ＜－ １ ３， 故实数ｋ (的取值范围是 －∞，－ )１３ ． ２１．（１）证明：令ｘ＝ｙ＝０，则ｆ（０）＝０， 令ｙ＝－ｘ，则ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）． 由题意在Ｒ上任意取ｘ１，ｘ２，且ｘ１ ＜ｘ２，则ｘ２－ｘ１ ＞０， ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＋ｆ（－ｘ１）＝ｆ（ｘ２－ｘ１）． 因为当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＜０，所以ｆ（ｘ２－ｘ１）＜０， 即ｆ（ｘ２）＜ｆ（ｘ１）， 则由定义可知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上为单调递减函数． （２）解：因为ｆ（ｘ）在Ｒ上是减函数， 所以ｆ（ｘ）在［－３，３］上也是减函数． 又 ｆ（３）＝ｆ（２）＋ｆ（１）＝ｆ（１）＋ｆ（１）＋ｆ（１）＝３ｆ（１） ＝３× －( )２３ ＝－２， 由ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）可得ｆ（－３）＝－ｆ（３）＝２． 故ｆ（ｘ）在［－３，３］上的最大值为２，最小值为 －２． （３）解：因为ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－３）≤－２， 由（１），（２）可得ｆ（２ｘ－３）≤ｆ（３）， 所以２ｘ－３≥３，所以ｘ≥３， 故实数ｘ的取值范围为［３，＋∞）． ２２．解：（１）因为当ａ，ｂ∈［－１，１］且ａ＋ｂ≠０时， ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ） ａ＋ｂ ＞０恒成立，