第3期 一元二次不等式及其解法-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题　１～４　ＣＢＢＤ　５～８　ＢＢＣＢ 二、多项选择题　９．ＡＢ；　１０．ＡＤ；　１１．ＢＤ；　１２．ＡＢＤ． 三、填空题　１３．４；　１４．２；　１５．８；　１６．１． 四、解答题 １７．解：（１）甲的解法错误， 原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的 情况不能同时成立． 正确解法： １ ｘ＋ ２ ｙ (＝ １ｘ＋２ )ｙ （ｘ＋２ｙ）＝１＋２ｙｘ＋２ｘｙ＋４ ≥５＋２ ２ｙｘ× ２ｘ 槡 ｙ ＝９， 当且仅当ｘ＝ｙ＝ １３时等号成立． （２）令ｘ＝ｍ，１－２ｘ＝ｎ，则ｍ＞０，ｎ＞０， 即可将“求函数ｆ（ｘ）＝ １ｘ＋ ３ １－２ｘ的最小值”转化为“已 知２ｍ＋ｎ＝１，求 １ｍ ＋ ３ ｎ的最小值”， 因为 １ ｍ ＋ ３ ｎ (＝ １ｍ ＋３ )ｎ （２ｍ＋ｎ）＝５＋ｎｍ ＋６ｍｎ≥ ５＋ 槡２６，当且仅当ｍ＝ １ ２＋槡６ 等号成立， 所以当ｘ＝ １ ２＋槡６ 时，函数ｆ（ｘ）＝ １ｘ＋ ３ １－２ｘ取最小值， 最小值为５＋ 槡２６． １８．解：（１）因为ｘ＜ ５４，则５－４ｘ＞０， ｙ＝４ｘ－２＋ １４ｘ－５＝４ｘ－５＋ １ ４ｘ－５＋３ (＝－ ５－４ｘ＋ １５－４ )ｘ ＋３≤－２ （５－４ｘ）× １５－４槡 ｘ＋３ ＝１， 当且仅当５－４ｘ＝ １５－４ｘ，即ｘ＝１时等号成立． 所以ｙ＝４ｘ－２＋ １４ｘ－５的最大值为１． （２）因为ａ＞０，ｂ＞０且ａ＋ｂ＝３， 所以 ２０２３ ａ＋２０２２＋ ２０２３ ｂ＋２０２１ ＝ １２［（ａ ＋２０２２） ＋ （ｂ＋２０２１ (）］ １ａ＋２０２２ ＋ １ ｂ＋ )２０２１ ＝ (１２ ２＋ａ＋２０２２ｂ＋２０２１＋ｂ＋２０２１ａ＋ )２０２２ ≥１＋１２ ×２ ａ＋２０２２ ｂ＋２０２１× ｂ＋２０２１ ａ＋槡 ２０２２＝２， 当且仅当 ａ＋２０２２ ｂ＋２０２１＝ ｂ＋２０２１ ａ＋２０２２，即ａ＝１，ｂ＝２时等号成立． 所以所求最小值为２． １９．解：（１）因为每月土地占地费ｙ１（单位：万元）与（ｘ＋１） 成反比，所以可设ｙ１ ＝ ｋ１ ｘ＋１． 因为每月库存货物费ｙ２（单位：万元）与（４ｘ＋１）成正比， 所以可设ｙ２ ＝ｋ２（４ｘ＋１）， 又因为在距离车站５ｋｍ处建仓库时，ｙ１与 ｙ２分别为１２．５ 万元和７万元，所以ｋ１＝６×１２．５＝７５，ｋ２＝ ７ ４×５＋１＝ １ ３． 则ｙ１ ＝ ７５ ｘ＋１，ｙ２ ＝ １ ３（４ｘ＋１）， 所以ω＝ｙ１＋ｙ２ ＝ ７５ ｘ＋１＋ １ ３（４ｘ＋１），ｘ＞０． （２）ω＝ ７５ｘ＋１＋ １ ３（４ｘ＋１）＝ ７５ ｘ＋１＋ ４ ３（ｘ＋１）－１ ≥２ ７５ｘ＋１× ４ ３（ｘ＋１槡 ）－１＝１９， 当且仅当 ７５ ｘ＋１＝ ４ ３（ｘ＋１），即ｘ＝６．５时等号成立， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站６．５千米处，才能 使两项费用之和最小，最小值为１９万元． ２０．解：（１）ｐ（５）＝１２００－１０×２５＝９５０， ｐ（５）的实际意义是：当地铁的发车时间间隔为５分钟时，地 铁载客量为９５０． （２）当２≤ｔ＜１０时，Ｑ＝７２００－６０（１０－ｔ） ２－３３６０ ｔ － ３６０＝－ (６０ ｔ＋３６)ｔ ＋８４０≤－６０×１２＋８４０＝１２０， 当且仅当ｔ＝６时，等号成立； 当１０≤ｔ≤２０时，Ｑ＝６×１２００－３３６０ｔ －３６０ ＝３８４０ｔ －３６０≤ ３８４０ １０ －３６０＝２４， 当且仅当ｔ＝１０时，等号成立； 故当发车时间间隔为６分钟时，该线路每分钟的净收益最 大，最大净收益为１２０元． ２１．（１）解：因为函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞ ０）的图象经过点（１，３），所以ａ＋ｂ＋ｃ＝３， 所以 １ ａ ＋ １ ４ｂ＋ １ ４ｃ＝ (１３ １ａ ＋１４ｂ＋１４ )ｃ （ａ＋ｂ＋ｃ） ＝ (１３ ３２ ＋ａ４ｂ＋ ｂａ ＋ａ４ｃ＋ ｃａ ＋ ｂ４ｃ＋ ｃ４ )ｂ ≥ １３ (× ３２ ＋２×１２ ＋２×１２ ＋２× )１４ ＝ ４３， 当且仅当ａ＝２ｂ＝２ｃ，即ａ＝３２，ｂ＝ ３ ４，ｃ＝ ３ ４时等号成立， 所以 １ ａ ＋ １ ４ｂ＋ １ ４ｃ的最小值为 ４ ３． （２）证明：因为ｂ ２ ａ ＋ ｃ２ ｂ＋ ａ２ ｃ＋（ａ＋ｂ＋ｃ） (＝ ｂ２ａ ) (＋ａ ＋ ｃ２ｂ ) (＋ｂ ＋ ａ２ｃ )＋ｃ ≥ (２ ｂ２ａ·槡 ａ＋ ｃ ２ ｂ·槡 ｂ＋ ａ２ ｃ·槡 )ｃ ＝２（ａ＋ｂ＋ｃ）， 当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１时等号成立． 所以 ｂ２ ａ ＋ ｃ２ ｂ＋ ａ２ ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ，即 ｂ２ ａ ＋ ｃ２ ｂ＋ ａ２ ｃ≥３． ２２．解：（１）由题意可得：２ｘｙ－ｘ２ ＝槡５，则ｙ＝ ｘ２＋槡５ ２ｘ ， 因为ｙ＞ｘ，所以ｘ ２＋槡５ ２ｘ ＞ｘ，解得０＜ｘ＜