第7期 3.4.1相似三角形的判定(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 一、条件开放题 例１　如图１，∠１＝∠２， 添加一个条件使得△ＡＤＥ∽ △ＡＣＢ： ． 解析：由 ∠１＝∠２，得 ∠１ ＋ ∠ＢＡＥ ＝ ∠２ ＋ ∠ＢＡＥ，即∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ． 两个三角形已有一组角对应 相等，只要再添一组角对应 相等即可，如 ∠Ｄ＝∠Ｃ或 ∠Ｅ＝∠Ｂ；也可以添加边对 应成比例，如 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ． 故填∠Ｄ＝∠Ｃ或∠Ｅ ＝∠Ｂ或ＡＤＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ． 二、结论开放题 例２　如图２，在平面直角坐标系中，点 Ａ（０，２）， Ｂ（４，４），Ｃ（１，０），Ｄ（９，４），Ｅ（５，０），Ｆ（１１，２）． （１）判断由点 Ａ，Ｂ，Ｃ构成的三角形 ＡＢＣ与由点 Ｄ，Ｅ，Ｆ构成的三角形ＤＥＦ是否相似，并说明理由； （２）若点 Ｐ１（８，３），Ｐ２（７，２），Ｐ３（６，１），Ｐ４（８，１）， Ｐ５（１０，３），则在点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５，Ｄ，Ｆ这７个点中选 取３个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 △ＡＢＣ相似（要求写出２个符合条件的三角形，并在图 中连接相应线段，不必说明理由）． 解析：（１）△ＡＢＣ和△ＤＥＦ相似． 理由：根据勾股定理，得ＡＢ＝ 槡２５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝ ５；ＤＥ＝ 槡４２，ＤＦ＝ 槡２２，ＥＦ＝ 槡２ １０．因为 ＡＢ ＤＥ＝ ＡＣ ＤＦ＝ ＢＣ ＥＦ＝ 槡１０ ４ ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ． （２）答案不惟一．如图３，下面６个三角形中的任 意２个均可． △Ｐ２Ｐ５Ｄ，△Ｐ４Ｐ５Ｆ，△Ｐ２Ｐ４Ｄ，△Ｐ４Ｐ５Ｄ，△Ｐ２Ｐ４Ｐ５， △Ｐ１ＦＤ． 【练一练】 １．（２０２２北京石景山区期末）如图４，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＞ＡＣ，点Ｄ在ＡＢ边上，点Ｅ在ＡＣ边上且ＡＤ＜ＡＥ． 只需添加一个条件即可证明 △ＡＢＣ∽ △ＡＥＤ，这个条 件可以是 （写出一个即可）． ２．（２０２２北京大兴区期中）如图５，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足是Ｄ，写出图中的一组相似 三角形为 ． 书 【提示】 １．延长ＰＯ交ＡＣ于点Ｍ，延长ＱＯ交ＡＢ于点Ｎ， 易证得四边形ＡＮＯＲ，四边形ＣＭＯＱ为平行四边形， 从而可得线段关系，根据相似三角形的判定易得 △ＲＯＭ∽△ＡＢＣ，△ＮＯＰ∽△ＡＣＢ，利用相似比可得 ＲＭ，ＡＲ，根据边的关系即可得ｘ． ２．取ＢＤ的中点为Ｆ，连接ＰＦ，ＱＦ，根据中位线 定理可得ＰＦ，ＱＦ的长，易得∠ＰＦＱ为直角．根据勾 股定理可得ＰＱ的值，取ＡＤ的中点为Ｇ，连接ＧＱ，推 出△ＰＭＦ∽△ＱＭＧ，根据相似三角形对应边成比例 即可求出ＰＭ，ＱＭ，即可解决问题． 书 １５．（１）因为 ｌ１∥ ｌ２∥ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ ＝４８ ＝ １ ２，所以ＤＥ＝ １ ２ＥＦ＝６． （２）因为ｌ１∥ｌ２∥ ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ２ ３， 所以 ＢＣ＝ ３２ＡＢ＝９， 所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝６ ＋９＝１５． １６．（１）证明：因为 ＥＦ∥ＣＤ，所以ＡＦ∶ＦＤ ＝ＡＥ∶ＥＣ．因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ＡＤ∶ＢＤ ＝ ＡＥ∶ＥＣ，所以 ＡＦ∶ＦＤ ＝ＡＤ∶ＢＤ． （２）因为 ＡＤ∶ＢＤ ＝２∶１，所以 ＢＤ ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＋ １ ２ＡＤ ＝１５，所以ＡＤ＝１０．因 为ＡＦ∶ＦＤ＝ＡＤ∶ＤＢ， 所以ＡＦ∶ＦＤ＝２∶１，所 以ＡＦ＝２ＤＦ．因为ＡＦ＋ ＤＦ＝１０，所以 ２ＤＦ＋ ＤＦ＝１０，所以 ＤＦ＝ １０ ３． １７．（１）证明：因为 菱 形 ＡＢＣＤ ∽ 菱 形 ＡＥＦＧ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＥＡＧ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＧＡＢ ＝ ∠ＥＡＧ ＋ ∠ＧＡＢ，所以 ∠ＧＡＤ ＝ ∠ＥＡＢ．因为 ＡＢ＝ＡＤ， ＡＥ＝ＡＧ，所以△ＡＧＤ≌ △ＡＥＢ，所以ＧＤ＝ＥＢ． （２）连接ＢＤ交ＡＣ 于点Ｐ，则ＢＰ⊥ＡＣ，因 为 ∠ＤＡＢ＝６０°，所以 ∠ＰＡＢ＝３０°．因为菱形 ＡＢＣＤ∽菱形ＡＥＦＧ，相 似比是 槡２∶３，ＡＢ＝２， 所以 ＡＥ ＝槡３，ＢＰ ＝ １ ２ＡＢ＝１，所以 ＡＰ＝ 书 上期２版 ３．１．１比例的基本性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．２３． ４．（１）因为ａ∶ｂ∶ｃ＝２∶３∶５，所以设ａ＝２ｋ，ｂ＝ ３ｋ，ｃ＝５ｋ（ｋ≠０），则３ａ－ｂ＋ｃ２ａ＋３ｂ－ｃ＝ ６ｋ－３ｋ＋５ｋ ４ｋ＋９ｋ－５ｋ＝１． （２）设ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝５ｋ（ｋ≠０），则６ｋ－３ｋ＋５ｋ ＝２４，解得ｋ＝３．则ａ＝２ｋ＝６，ｂ＝３ｋ＝９，ｃ＝５ｋ＝１５． ３．１．２成比例线段 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．３－槡５； ５．（－１＋槡５）． 能力提高　６．（１）因为ＡＤ＝１８，ＡＣ＝６，所以ＣＤ ＝ＡＤ－ＡＣ＝１２．又因为点Ｄ是线段ＢＣ的中点，所以ＢＤ ＝ＣＤ＝１２． （２）根据题意可设ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５ｘ，所以ＡＢ＝ ６ｘ．因为点 Ｃ把线段