第1期 21.1一元二次方程；21.2.1配方法；21.2.2公式法(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 重点集训营 １．用公式法解方程： （１）（２ｘ－１）２ ＝ｘ２＋５； （２）３ｘ２－１＝－２ｘ； （３）ｘ２＋４ｘ＋２＝０； （４）（３ｘ＋２）（ｘ＋３）＝ｘ＋１４； （５）ｘ２－槡２２ｘ＋ １ ８ ＝０； （６）（ｘ－２）２－２（ｘ－２）－３＝０． ２．定义新运算：对于任意实数ａ，ｂ，都有ａ ! ｂ＝ａ（ａ －ｂ）＋１，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比 如：２ ! ５＝２×（２－５）＋１＝２×（－３）＋１＝－６＋１ ＝－５． （１）若ｘ ! （－２）＝４，求ｘ的值； （２）若２ ! ａ的值小于５，请判断方程 －ｘ２＋ｂｘ＋ａ ＝０的根的情况． 书 在近几年的数学考试中，常有构造一元二次方程求 解的问题．若能根据题目特征，巧妙运用所学知识构造 一元二次方程求解，往往可收到事半功倍的效果．下面 举例说明构造一元二次方程的方法，供同学们参考． 一、利用相反数的性质构造 例１　若代数式ｍ２＋４与６ｍ＋５互为相反数，则 ｍ－２的值为 ． 分析：根据互为相反数的两个数的和为０构造出关 于ｍ的一元二次方程，解方程即可得解． 解：由相反数的性质，得ｍ２＋４＋６ｍ＋５＝０，即ｍ２ ＋６ｍ＋９＝０，所以（ｍ＋３）２ ＝０，解得ｍ１ ＝ｍ２ ＝－３， 所以ｍ－２ ＝ １ （－３）２ ＝ １９．故填 １ ９． 二、利用同类项的定义构造 例２　已知两个单项式 －２ｘ４ｙ２ａ与３ｘ４ｙａ２＋１的和仍 是单项式，试求这两个单项式的和． 分析：根据两个单项式可以合并可知他们为同类 项，然后根据同类项的定义列出关于 ａ的一元二次方 程，求出ａ的值后根据单项式的加法法则计算即可． 解：根据题意，知两个单项式为同类项， 所以２ａ＝ａ２＋１，解得ａ１ ＝ａ２ ＝１， 所以这两个单项式的和为 －２ｘ４ｙ２＋３ｘ４ｙ２ ＝ｘ４ｙ２． 三、利用同类二次根式的定义构造 例３　若二次根式 ５ａ－槡 ２与 ａ ２＋槡 ４是同类二次 根式，则ａ＝ ． 分析：根据同类二次根式的定义得出５ａ－２＝ａ２＋ ４，再求出方程的解即可． 解：因为二次根式 ５ａ－槡 ２与 ａ ２＋槡 ４是同类二次 根式，所以５ａ－２＝ａ２＋４，解得ａ１ ＝２，ａ２ ＝３，经检验 ａ＝２或３都符合题意．故填２或３． 四、利用方程的定义构造 例 ４　（２０２２无锡新吴区期中）已知方程（ａ－ 槡３）ｘ ａ２－１＋３＝０是关于 ｘ的一元二次方程，则 ａ＝ ． 分析：根据一元二次方程未知数的最高次数是２和 二次项的系数不等于０解答即可． 解：因为（ａ－槡３）ｘ ａ２－１＋３＝０是关于ｘ的一元二次方 程，所以ａ－槡３≠０且ａ ２－１＝２，解得ａ＝－槡３．故填 －槡３． 书 配方法是解一元二次方程的基本方法，也是解决代 数中有关二次式最值问题的常用方法之一．配方是通过 “加上”并且“减去”相同的项，把代数式中的某些项配 成完全平方式，达到巧解的目的．下面就让我们走进一 元二次方程的解法，一起来体会配方法的无限魅力吧！ 一、配方法的基本思路 用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转 化为（ｘ＋ｍ）２ ＝ｎ的形式，然后利用开平方达到降次的 目的．当ｎ≥０时，根据平方根的意义可求出它的根为 槡ｘ＝－ｍ± ｎ． 二、配方法的步骤 如果方程的二次项系数是１，且一次项系数是２的 整数倍，比如ｘ２－４ｘ＋１＝０，那么一般可按以下步骤解 方程： （１）移项：使方程的左边为含有未知数的项（即二 次项与一次项），右边为不含未知数的项（即常数项）， 得ｘ２－４ｘ＝－１； （２）配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的 平方，把方程左边写成完全平方的形式，即 ｘ２－４ｘ＋ （－４２） ２ ＝－１＋（－４２） ２，（ｘ－２）２ ＝３； （３）开方：根据平方根的意义，直接开平方得到两 个一元一次方程，从而达到“降次”的目的，由此可得 ｘ－２＝槡３或ｘ－２＝－槡３； （４）求解：解两个一元一次方程，得 ｘ１ ＝２＋槡３， ｘ２ ＝２－槡３． 温馨提示：（１）如果方程的二次项系数不是１，要先 利用等式的基本性质将其化为１； （２）若一个方程完成配方后，方程右边的常数项是 负数，这说明原方程在实数范围内无解． 练习：用配方法解一元二次方程：３ｘ２－６ｘ＋２＝０． ［答案：ｘ１ ＝ ３－槡３ ３ ，ｘ２ ＝ ３＋槡３ ３ ］ 三、配方法的应用 配方法不仅用来解一元二次方程，还能巧解数学中 的很多问题，下面我们就一起欣赏如何巧用“配方法” 解题吧！ 例　已知代数式２ｘ２－８ｘ＋９，试说明无论ｘ取何实 数，代数式的值恒大于零，并求代数式的最小值． 思路点拨：要说明代数式２ｘ２－８ｘ＋９恒大于零，可 用配方法将它化成ａ（ｘ－ｈ）２的形式，然后再讨论判断． 解：原式＝２（ｘ２－４ｘ）＋９ ＝２（ｘ２－４ｘ＋４－４）＋９ ＝２（ｘ－２）２＋１． 因为