第6期 2.4解直角三角形；2.5解直角三角形的应用(答案见第8期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 重点集训营 １．（２０２２淄博一模）２０２２年２月４日至２月２０日北 京冬奥会成功举办．如图１，ＡＢ表示一条跳台滑雪赛 道，在点Ａ处测得起点Ｂ的仰角为４０°，斜坡ＣＤ的坡度 为ｉ＝１∶２．４，底端点Ｃ与顶端点Ｄ的距离为２６米，参 赛运动员们将从点Ａ出发乘车沿水平方向行驶１００米 到达点Ｃ处，再沿斜坡ＣＤ行驶至点Ｄ处，最后乘垂直 于水平方向的电梯到达点Ｂ处，求电梯ＢＤ的高度（结 果保留一位小数，参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈ ０．７７，ｔａｎ４０°≈０．８４）． ２．（２０２２新乡二模）如图２，某公园一斜坡上有一 颗挺直的树 ＡＢ，某同学为了测量其高度，从地面上 Ｃ 点处测得其顶端Ａ的仰角为２０°，他沿着水平方向向前 行走１７ｍ后到达斜坡底端Ｄ点，再沿着斜坡行走５ｍ 到达顶端Ｅ点．已知斜坡的坡度为１∶０．７５，斜坡顶端Ｅ 与树的底端Ｂ的距离为４ｍ，且ＢＥ∥ＣＤ．请你帮该同 学计算出树的高度 ＡＢ（参考数据：ｓｉｎ２０°≈ ０．３４２， ｃｏｓ２０°≈０．９４０，ｔａｎ２０°≈０．３６４，结果精确到０．０１ｍ）． １．如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ ３ ４，ＡＤ＝３，ＣＤ＝４，则ＢＤ的取值范围为 ． ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，点Ｄ在三角形内部， 连接 ＡＤ，ＢＤ，ＣＤ，∠ＣＢＤ ＝∠ＡＣＢ＝３０°，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＤ，ＣＤ＝７，则线段ＡＤ的长度为 ． 书 【提示】 １．过点Ａ在四边形ＡＤＣＢ内部作线段ＡＥ，使 ∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＣ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＤ交ＡＥ于点Ｅ，连 接ＢＥ，证明△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ，△ＤＡＣ∽△ＥＡＢ，利用 ＢＥ－ＤＥ≤ＢＤ≤ＢＥ＋ＤＥ，即可求解． ２．延长ＢＤ交ＡＣ于点Ｅ，在ＣＤ上取点Ｆ使ＣＦ＝ ＡＢ，连接ＡＦ交ＤＥ于点Ｏ，连接ＥＦ，证明△ＡＢＥ≌ △ＥＣＦ，则可得等腰三角形ＡＥＦ，根据三线合一证明 ＥＤ垂直平分ＡＦ，得ＡＤ＝ＤＦ即可求解． 书 １７．过点Ｅ作ＥＦ⊥ ＡＤ交ＡＤ于点Ｆ， 设ＢＣ＝ＢＥ＝ｘ， 因 为 ∠ＥＤＢ ＝ ∠ＢＡＣ＝３０°， 所以 ＤＥ＝ＡＣ＝ ２ｘ，ＡＢ＝ＢＤ＝槡３ｘ， 则 ＡＥ ＝ （槡３ － １）ｘ． 又因为ＡＢ＝ＢＤ， 所 以 ∠ＦＡＥ ＝ ４５°， 所以 ＡＦ＝ＥＦ，ＡＥ ＝槡２ＦＥ，即（槡３－１）ｘ ＝槡２ＦＥ， 所 以 ＥＦ ＝ 槡６－槡２ ２ ｘ， 所以 ｓｉｎ∠ＡＤＥ ＝ ＥＦ ＤＥ＝ 槡６－槡２ ４ ． １８．（１）因为ｓｉｎＢ ＝ ｂｃ ＝ 槡６ 槡２３ ＝槡２２，且 ∠Ｂ为锐角， 所以∠Ｂ＝４５°． （２）因为 ｃ＝１２， ｓｉｎＡ＝ １３ ＝ ａ ｃ， 所以ａ＝４， 所以由勾股定理， 得 ｂ ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝ 槡８２． 附加题　（１）过点 Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，交ＢＣ的 延长线于点Ｄ， 在 Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＣ ＝４， 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ １５０°， 所 以 ∠ＡＣＤ ＝ ３０°， 书 上期２版 ２．１锐角三角比（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．１２１３；　５． ２５ ３． ６．因为ＡＤ＝ＢＣ＝５，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝３５，所以ＣＤ＝３． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，因为 ＡＤ＝５，ＣＤ＝３，所以 ＡＣ＝ ＡＤ２－ＣＤ槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２ ＝４． 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，因为 ＡＣ＝４，ＢＣ＝５，所以 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ４２＋５槡 ２ ＝槡４１，所以ｓｉｎＢ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ４ 槡４１ ＝ 槡４ ４１４１ ． 能力提高　７．因为ｂ２＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ）＝ｃ２－ａ２， 所以ａ２＋ｂ２＝ｃ２，所以△ＡＢＣ是以ｃ为斜边的直角三角 形． 因为５ｂ－４ｃ＝０，所以 ｂｃ ＝ ４ ５． 在△ＡＢＣ中，设ｂ＝４ｋ，则ｃ＝５ｋ，所以ａ＝３ｋ，所以 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ ａｃ＋ ｂ ｃ ＝ ３ｋ ５ｋ＋ ４ｋ ５ｋ＝ ３ ５＋ ４ ５ ＝ ７ ５． ２．１锐角三角比（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ； ３．４３；　４． 槡７ ３；　５． ６ ５． 能力提高　６．（１）图略． （２）因为Ｓ△ＣＤＢ ＝ １ ２·ＣＤ·４＝６，所以ＣＤ＝３． 因为ＣＤ∥ＡＢ，所以可确定 Ｄ点位置，所以 ＢＤ＝ 槡１７． 作ＤＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，因为Ｓ△ＣＤＢ ＝ １ ２·ＢＣ·ＤＨ＝ ６，ＢＣ＝ 槡４２，所以ＤＨ＝ 槡 ３２ ２． 因为ＢＨ＝ ＢＤ２－ＤＨ槡 ２ ＝ 槡５２２，所以ｔａｎ∠ＣＢＤ＝ ＤＨ ＢＨ＝ ３ ５． ２．２　３０°，４５°，６０°角的三角比 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．６０°； ５．等腰直角． ６．（１）１；　（２） 槡２３－１４ ． 能力提高　７．因为槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ， 槡３ ２ ＝ｃｏｓ３０°， 当０＜α＜９０°，α越大，ｃｏｓα越小，所以∠Ｂ＜∠Ａ＜３０°．