第3期 1.3相似三角形的性质；1.4图形的位似(答案见第5期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 １８．（１）证明：因为 ＡＢ ＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ － ∠ＤＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ－∠ＤＡＦ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． （２）因为△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ，∠ＡＤＥ ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ，所 以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ２１°． （３）证明：由（１） 知∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．因 为 ＡＢ ＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ， 所 以 △ＡＢＤ ∽ △ＡＣＥ． 附加题　（１）△ＡＢＥ 与△ＤＥＦ相似，理由如 下： 因为四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，所以 ∠Ａ ＝ ∠Ｄ＝９０°． 因 为 ∠ＢＥＦ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＢＥ ＋ ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＤＥＦ ＋ ∠ＡＥＢ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＦ，所以 △ＡＢＥ∽△ＤＥＦ． （２）当点Ｅ位于ＡＤ 中 点 位 置 时，△ＡＢＥ， △ＢＥＦ，△ＤＥＦ这三个 三角形都相似， 理由：由（１）得， △ＡＢＥ∽ △ＤＥＦ．过点 Ｅ作ＥＧ⊥ＢＦ于点Ｇ，因 为 △ＥＢＦ与 △ＡＢＥ相 似， 所 以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＥＢＦ 或 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＥＢＦ．当 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＥＢＦ时，ＡＤ∥ＢＦ，此 时点Ｆ与点 Ｃ重合，所 以∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＦ．因 为∠Ａ＝９０°，所以 ＥＧ ＝ＥＡ．同理可得 ＥＤ＝ ＥＧ，所以ＡＥ＝ＥＤ，即Ｅ 书 上期２版 １．２怎样判定三角形相似（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．６０°；　４．４． ５．△ＡＰＣ与△ＰＢＤ相似，理由略． 能力提高　６．证明：（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＢＡＥ ＝∠ＡＥＤ，∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为 ∠ＡＦＢ＋∠ＢＦＥ＝ １８０°，∠ＢＦＥ＝∠Ｃ，所以∠Ｄ＝∠ＡＦＢ，所以△ＡＢＦ∽ △ＥＡＤ． （２）由（１）得△ＡＢＦ∽△ＥＡＤ，所以ＤＥＡＦ＝ ＡＥ ＡＢ．因为 ＡＢ＝ＣＤ，所以ＤＥＡＦ＝ ＡＥ ＣＤ，所以ＤＥ·ＤＣ＝ＡＥ·ＡＦ． １．２怎样判定三角形相似（第三课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ； ３．∠Ｅ＝∠Ｂ；　４．（１，４）或（３，４）． ５．证明略． 能力提高　６．分两种情况：① 因为 ∠Ａ＝∠Ａ，若 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ，则△ＡＭＮ∽△ＡＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＭＮ ＢＣ．因为Ｍ为 ＡＢ中点，ＡＢ＝ 槡２５，所以ＡＭ ＝槡５．因为 ＢＣ＝６，所以 ＭＮ＝３； ②若ＡＭＡＣ＝ ＡＮ ＡＢ，则△ＡＮＭ∽△ＡＢＣ，所以 ＡＭ ＡＣ＝ ＭＮ ＢＣ． 因为Ｍ为ＡＢ中点，ＡＢ＝ 槡２５，所以ＡＭ＝槡５．因为ＢＣ＝ ６，ＡＣ＝ 槡４５，所以ＭＮ＝ ３ ２．综上，ＭＮ的长为３或 ３ ２． １．２怎样判定三角形相似（第四课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．６；　４．③④⑤． ５．证明：因为ＡＢ∥ＤＥ，所以ＤＥＡＢ＝ ＯＥ ＯＢ．同理得， ＥＦ ＢＣ ＝ＯＥＯＢ＝ ＯＦ ＯＣ， ＤＦ ＡＣ ＝ ＯＦ ＯＣ，所以 ＤＥ ＡＢ ＝ ＥＦ ＢＣ＝ ＤＦ ＡＣ，所以 △ＤＥＦ∽△ＡＢＣ． 能力提高　６．因为ＡＢＢＤ＝ ＢＣ ＢＥ＝ ＣＡ ＥＤ，所以△ＡＢＣ∽ △ＤＢＥ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ，所以∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ＝ ∠ＤＢＥ－∠ＤＢＣ，即∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ．因为ＡＢＢＤ＝ ＢＣ ＢＥ，所 以 ＡＢ ＢＣ＝ ＢＤ ＢＥ，所以△ＡＢＤ∽△ＣＢＥ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．∠ＡＦＥ＝∠Ｂ（答案不惟一）； １０．两角分别相等的两个三角形相似； １１．２．５；　１２．６．２；　１３．１６；　１４．４或７． 三、１５．（１）不相似．理由：因为 ∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝ ３ｃｍ，ＡＣ＝４ｃｍ，∠Ｂ′＝３０°，Ａ′Ｂ′＝６ｃｍ，Ａ′Ｃ′＝８ｃｍ， 所以虽然是两边对应成比例，但不是夹角相等，所以 △ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′不相似． （２）相似．理由：因为ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＣ＝ ５ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝１２ｃｍ，Ｂ′Ｃ′＝１８ｃｍ，Ａ′Ｃ′＝１５ｃｍ，所以 ＡＢ Ａ′Ｂ′＝ ＢＣ Ｂ′Ｃ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ １ ３，所以△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′． １６．（１）△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ．理由如下： 因为ＢＤ＝ ４３，ＡＢ＝３，ＢＣ＝２，所以 ＢＤ ＢＣ＝ ４ ３ ２ ＝ ２ ３， ＢＣ ＢＡ＝ ２ ３，所以 ＢＤ ＢＣ＝ ＢＣ ＢＡ．因为∠ＤＢＣ＝∠ＣＢＡ，所以 △ＢＣＤ∽△ＢＡＣ． （２）因为△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ，所以ＣＤＡＣ＝ ＢＣ ＢＡ，即 ５ ３ ＡＣ＝ ２ ３，所以ＡＣ＝ ５ ２． １７．证明：（１）因为ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＡＢ．因为 ∠Ａ