第8期 23.3.3相似三角形的性质；23.3.4相似三角形的应用；23.4中位线(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 【提示】 １．取ＡＢ的中点Ｓ，连结ＭＳ，ＰＳ，则ＰＳ－ＭＳ≤ ＰＭ≤ＭＳ＋ＰＳ，当Ｍ，Ｓ，Ｐ共线时，ＭＰ有最小值为ＰＳ －ＭＳ，根据△ＡＯＢ∽△ＤＯＣ，易证△ＣＯＢ∽△ＤＯＡ， 根据直角三角形斜边中线定理以及中位线定理即可 求出结果． ２．取ＢＤ的中点为Ｆ，连结ＰＦ，ＱＦ，根据中位线 定理可得ＰＦ，ＱＦ的长，易得∠ＰＦＱ为直角．根据勾 股定理可得ＰＱ的值，取ＡＤ的中点为Ｇ，连结ＧＱ，推 出△ＰＭＦ∽△ＱＭＧ，根据相似三角形对应边成比例 即可求出ＰＭ，ＱＭ，即可解决问题． 书 １．如图１，Ｒｔ△ＡＯＢ∽Ｒｔ△ＤＯＣ，∠ＡＢＯ＝∠ＤＣＯ ＝３０°，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，Ｍ为ＯＡ的中点，ＯＡ＝ ６，将△ＣＯＤ绕点Ｏ旋转一周，直线ＡＤ，ＣＢ交于点Ｐ，连 结ＭＰ，则ＭＰ的最小值是 ． ２．如图２，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝ １２，ＣＯ⊥ＡＢ于点Ｏ，Ｄ是线段ＯＢ上一点，ＤＥ＝２，ＥＤ ∥ＡＣ（∠ＡＤＥ＜９０°），连结 ＢＥ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＤ的中点分 别为Ｐ，Ｑ．设ＰＱ与ＡＢ的交点为Ｍ，则｜ＰＭ－ＭＱ｜的 值为 ． 书 １．如图１，等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，点 Ｆ是边ＢＣ上不与点Ｂ，Ｃ重合的一个动点，直线ＤＥ垂直 平分ＢＦ，垂足为Ｄ．当△ＡＣＦ是直角三角形时，ＢＤ的长 为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．７８ Ｃ．２或 ７ ８ Ｄ． １ ８ ２．如图２，在边长为４的等边△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＡＢ 边上一个动点，将三角形沿过点Ｄ的直线折叠，使点 Ａ 落在ＢＣ边上的点Ｆ处，折痕交ＡＣ于点Ｅ，当ＢＦ＝１， ＡＥ＝１３５时，则ＡＤ的长是 ． ３．如图３，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝８，Ｆ是 ＢＣ边上的中点，动点Ｅ在边ＡＤ上，连结ＥＦ，过点Ｆ作 ＦＰ⊥ＥＦ分别交射线ＡＤ，射线ＣＤ于点Ｐ，Ｑ． （１）当点Ｐ与点Ｑ重合时，求ＰＦ的长； （２）线段ＰＦ将矩形分成两个部分，设较小部分的 面积为ｙ，ＡＥ长为ｘ，求ｙ与ｘ的函数关系式． 书 一、利用相似求运动时间 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝９０°，ＡＢ ＝１２ｍｍ，ＢＣ ＝ ２４ｍｍ，动点Ｐ以２ｍｍ／ｓ的速度从 Ａ向Ｂ移动（不与Ｂ重合），动点Ｑ 以４ｍｍ／ｓ的速度从Ｂ向Ｃ移动（不 与Ｃ重合），若Ｐ，Ｑ同时出发，经过 ｓ后，△ＰＢＱ 与△ＡＢＣ相似． 解析：设 ｘｓ后 △ＰＢＱ与 △ＡＢＣ相似，则 ＡＰ＝ ２ｘｍｍ，ＰＢ＝（１２－２ｘ）ｍｍ，ＢＱ＝４ｘｍｍ，因为∠ＰＢＱ＝ ∠ＡＢＣ，所以当ＰＢＡＢ＝ ＢＱ ＢＣ时，△ＢＰＱ∽△ＢＡＣ，即 １２－２ｘ １２ ＝４ｘ２４，解得ｘ＝３；当 ＰＢ ＣＢ＝ ＢＱ ＡＢ时，△ＰＢＱ∽△ＣＢＡ，即 １２－２ｘ ２４ ＝ ４ｘ １２，解得ｘ＝ ６ ５．综上，经过３ｓ或 ６ ５ｓ后， △ＰＢＱ与△ＡＢＣ相似．故填３或 ６５． 二、利用相似求线段的长 例２　如图２，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２，点Ｐ是ＡＢ边 的中点，点 Ｑ是 ＢＣ边上一个动 点，当ＢＱ＝ 时，△ＢＰＱ 与△ＢＡＣ相似． 解析：因为ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２，点Ｐ是ＡＢ边的中点，所 以ＢＰ＝３．因为∠ＰＢＱ＝∠ＡＢＣ，所以当ＢＰＡＢ＝ ＢＱ ＢＣ时， △ＢＰＱ∽△ＢＡＣ，所以３６＝ ＢＱ １２，解得ＢＱ＝６；当 ＢＰ ＢＣ＝ ＱＢ ＡＢ 时，△ＢＰＱ∽△ＢＣＡ，所以３１２＝ ＢＱ ６，解得ＢＱ＝ ３ ２．综上， 当ＢＱ＝３２或６时，△ＢＰＱ与△ＢＡＣ相似．故填 ３ ２或６． 三、利用相似求函数表达式 例 ３　 如图 ３，Ｐ是矩形 ＡＢＣＤ的一边 ＢＡ延长线上一 点，Ｍ是ＡＤ上一动点，连结ＰＭ 与矩形ＡＢＣＤ的边交于点Ｎ，连 结 ＢＭ，ＢＮ，若 ＡＢ＝６，ＡＤ ＝ ２ＡＰ＝４，△ＢＭＮ的面积为Ｓ，设ＤＭ＝ｘ，求Ｓ与ｘ之间 的函数关系． 解析：当点Ｎ在ＣＤ边上时，即０≤ｘ≤３时，因为ＡＢ ∥ＤＣ，所以△ＡＰＭ∽△ＤＮＭ，所以ＤＮＡＰ＝ ＤＭ ＡＭ，即 ＤＮ ２ ＝ ｘ ４－ｘ，解得ＤＮ＝ ２ｘ ４－ｘ，所以Ｓ＝Ｓ△ＰＮＢ－Ｓ△ＰＭＢ ＝ １ ２× ８×４－１２×８×（４－ｘ）＝４ｘ；当点Ｎ在ＢＣ边上时，即 ３＜ｘ≤４时，因为ＡＤ∥ＢＣ，所以△ＡＰＭ∽△ＢＰＮ，所 以 ＡＭ ＢＮ＝ ＰＡ ＰＢ＝ １ ４，所以ＢＮ＝４ＡＭ＝４（４－ｘ）＝１６－ ４ｘ，所以Ｓ＝Ｓ△ＰＢＮ －Ｓ△ＰＢＭ ＝ １ ２×８（１６－４ｘ）－ １ ２× ８（４－ｘ）＝－１２ｘ＋４８． 综上，Ｓ＝ ４ｘ（０≤ｘ≤３）， －１２ｘ＋４８（３＜ｘ≤４）{ ． 书 上期２版 ２３．３．１相似三角形 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．２５；　４．４∶２１． ５．ＧＨ的长为 ６５． ２３．３．２相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．４；　４．４．