第7期 23.3.1相似三角形；23.3.2相似三角形的判定(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 １．如图１，点 Ｏ在 △ＡＢＣ内，点 Ｐ，Ｑ，Ｒ分别在边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上，且ＯＰ∥ＢＣ，ＯＱ∥ＣＡ，ＯＲ∥ＡＢ，ＯＰ＝ ＯＱ ＝ＯＲ ＝ｘ，ＢＣ ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ ＝ｃ，则 ｘ＝ ． ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＢＣ 上的点，ＢＥ＝３，ＣＤ＝６，∠ＦＥＤ＝３０°，∠ＦＤＥ＝４５°， 则ＢＣ的长度为 ． 书 【提示】 １．延长ＰＯ交ＡＣ于Ｍ，延长ＱＯ交ＡＢ于Ｎ，易证 得四边形ＡＮＯＲ、四边形ＣＭＯＱ为平行四边形，从而 可得线段关系，根据相似三角形的判定易得△ＲＯＭ ∽△ＡＢＣ，△ＮＯＰ∽△ＡＣＢ，利用相似比可得ＲＭ， ＡＲ，根据边的关系即可得ｘ． ２．过点Ｆ作ＦＮ⊥ＤＥ于点Ｎ，延长ＤＥ交ＣＢ的 延长线于点Ｍ，先证△ＦＮＤ是等腰直角三角形，再证 明△ＥＡＤ≌△ＥＢＭ，最后再证△ＥＢＭ∽△ＦＮＭ，利 用对应边成比例求出ＢＭ，即可得到ＢＣ的长度． 书 （上接４版参考答案） １６．（１）因为 ｌ１∥ ｌ２∥ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ ＝４８ ＝ １ ２，所以ＤＥ＝ １ ２ＥＦ＝６． （２）因为ｌ１∥ｌ２∥ ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ２ ３， 所以 ＢＣ＝ ３２ＡＢ＝９， 所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝６ ＋９＝１５． １７．（１）证明：因为 ＥＦ∥ＣＤ，所以ＡＦ∶ＦＤ ＝ＡＥ∶ＥＣ．因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ＡＤ∶ＢＤ ＝ ＡＥ∶ＥＣ，所以 ＡＦ∶ＦＤ ＝ＡＤ∶ＢＤ． （２）因为 ＡＤ∶ＢＤ ＝２∶１，所以 ＢＤ ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＋ １ ２ＡＤ ＝１５，所以ＡＤ＝１０．因 为ＡＦ∶ＦＤ＝ＡＤ∶ＤＢ， 所以ＡＦ∶ＦＤ＝２∶１，所 以ＡＦ＝２ＤＦ．因为ＡＦ＋ ＤＦ＝１０，所以 ２ＤＦ＋ ＤＦ＝１０，所以 ＤＦ＝ １０ ３． １８．（１）由已知得 ＭＮ ＝ＡＢ＝２，ＭＤ ＝ １ ２ＡＤ＝ １ ２ＢＣ，因为沿 长边对折后得到的矩形 与原矩形相似，所以矩 形ＤＭＮＣ与矩形 ＡＢＣＤ 相似，所以 ＤＭ ＡＢ ＝ ＭＮ ＢＣ， 所以 ＤＭ·ＢＣ＝ＡＢ· ＭＮ，即 １２ＢＣ ２＝４，所以 ＢＣ＝ 槡２２，即它的另一 边长为 槡２２． （２）因为矩形ＦＥＣＤ 与原矩形ＡＢＣＤ相似，所 以 ＤＦ ＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ．因为ＡＢ＝ ＣＤ＝２，ＢＣ＝４，所以ＤＦ ＝ＡＢ·ＣＤＢＣ ＝１，所以矩 形ＦＥＣＤ的面积 ＝ＣＤ· ＤＦ＝２×１＝２． １９．（１）证明：因为 菱 形 ＡＢＣＤ ∽ 菱 形 ＡＥＦＧ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＥＡＧ，所以∠ＢＡＤ＋ （下转２，３版中缝） 书 上期２版 ２３．１．１成比例线段 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．－１５；　５．１． ６．（１）３ａ－ｂ＋ｃ２ａ＋３ｂ－ｃ的值为１． （２）设ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝５ｋ（ｋ≠０），则６ｋ－３ｋ＋５ｋ ＝２４，解得ｋ＝３．则ａ＝２ｋ＝６，ｂ＝３ｋ＝９，ｃ＝５ｋ＝１５． 能力提高　７．（１）因为ＡＤ＝１８，ＡＣ＝６，所以ＣＤ ＝ＡＤ－ＡＣ＝１２．又因为点Ｄ是线段ＢＣ的中点，所以ＢＤ ＝ＣＤ＝１２． （２）根据题意可设ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５ｘ，所以ＡＢ＝ ６ｘ．因为点 Ｃ把线段 ＡＢ分为２∶３的两段，所以 ＡＣ＝ ２ ５ＡＢ＝ １２ ５ｘ，所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ １２ ５ｘ－ｘ＝ ７ ５ｘ．因 为ＣＤ＝７，所以 ７５ｘ＝７，解得ｘ＝５．所以ＡＢ＝６ｘ＝３０． ２３．１．２平行线分线段成比例 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．９；　４．３４． ５．证明：因为Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ的中点，所以ＡＤ ＝ＤＢ．因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＡＦＦＣ＝ ＡＤ ＤＢ＝１，所以ＡＦ＝ＦＣ． 因为ＣＥ∥ＡＢ，所以ＥＦＦＤ＝ ＦＣ ＦＡ＝１，所以ＤＦ＝ＥＦ，即Ｆ 是ＤＥ的中点． 能力提高　６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＢＣ ∥ＡＤ，所以ＡＢＡＭ＝ ＮＣ ＮＭ．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以 ＡＤ ＡＮ＝ ＣＭ ＮＭ，所 以 ＡＢ ＡＭ＋ ＡＤ ＡＮ＝ ＮＣ ＮＭ＋ ＣＭ ＮＭ＝１．又因为ＡＢ＝ＡＤ＝１，所以 １ ＡＭ＋ １ ＡＮ＝１． ２３．２相似图形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．２；　５．１４． ６．设小路的宽为 ｘｍ，根据相似多边形的性质，得 ３０ １０＝ １０ ｘ，解得ｘ＝ １０ ３．即小路的宽为 １０ ３ｍ． 能力提高　７．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，所以∠ＦＡＥ＝∠ＡＥＢ． 因为ＥＦ∥ＡＢ，所以四边形 ＡＢＥＦ是平行四边形．因为 ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以 ∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ，所以 ∠ＢＡＥ＝ ∠ＡＥＢ，所以ＡＢ＝ＥＢ，所以四边形 ＡＢＥＦ是菱形，所以 ＢＦ平分∠ＡＢＣ． （２）因为四边形ＡＢＥＦ为菱形，所以ＢＥ＝ＡＢ＝６． 因为四边形 ＡＢＣＤ∽ 四边形 ＣＥＦＤ，所以ＡＢＣＥ＝ ＢＣ