第1期 21.1二次根式；21.2二次根式的乘除(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往是难点， 因此本学期我们将开辟一个专门练习添加辅助线的学 习板块，希望同学们好好练习． １．如图１，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝６，ＡＣ＝ ８，点Ｄ是ＡＢ的中点，将△ＡＣＤ沿ＣＤ翻折得到△ＥＣＤ， 连结ＡＥ，ＢＥ，则线段ＢＥ的长等于 （　　） Ａ．７５　　　Ｂ． ３ ２　　　Ｃ． ５ ３　　　Ｄ． １４ ５ ２．如图２，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，∠Ａ＝６０°，Ｅ是 边ＡＤ的中点，Ｆ是边ＡＢ上的一个动点，将线段ＥＦ绕着 点Ｅ逆时针旋转６０°得到ＥＧ，连结ＢＧ，ＣＧ，则ＢＧ＋ＣＧ 的最小值为 （　　） 槡 槡 槡Ａ．３３ Ｂ．２７ Ｃ．４３ Ｄ．２＋ 槡２３ ３．如图 ３，在菱形 ＡＢＣＤ 中，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝１２０°，Ｑ为 ＡＢ的中点，Ｐ为对角线ＢＤ上 的任意一点，则ＡＰ＋ＰＱ的最 小值为 ． ４．如图 ４，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝３，对角线ＡＣ＝５，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＤ于点 Ｅ，Ｑ是线段ＢＥ上的点，连结ＣＱ，过点Ｃ作ＣＰ⊥ＣＱ交 ＡＤ的延长线于点Ｐ，当△ＰＣＱ为等腰三角形时，求ＡＰ 的值． 书 重点集训营 计算下列各题： （１） 槡２ １４× 槡３７； （２） ０．槡 １× ０．槡 ４； （３） ２槡 ３ ４ × ２ 槡１１； （４）槡７２÷槡 ３ ２； （５）－ １槡 ２ ３ ÷ ５ 槡５４； （６）槡９ 槡１２ ÷ ５４槡１２×槡 ３ ６； （７）槡１２÷槡２７×槡１８； （８） ａｂ槡 ３·（－３２ ａ ３ 槡 ｂ）÷（ １ ３ ｂ 槡ａ）． !"!#$%&' ()*+,-./0 书 例题呈现：已知 ３＜ｘ＜５，化简： （ｘ－３）槡 ２ ＋ ｜ｘ－５｜． 思路分析：化简形如 ａ槡 ２的式子时，必须弄清楚根 号下 被 开 方 数 的 正 负， 然 后 根 据 ａ槡 ２ ＝ ａ（ａ≥０）， －ａ（ａ＜０{ ）进行化简． 解答展示：因为３＜ｘ＜５，所以ｘ－３＞０，ｘ－５＜ ０．所以原式 ＝ｘ－３－（ｘ－５）＝ｘ－３－ｘ＋５＝２． 变式探究 例 １　 当 ｘ ＜－３时， 化 简 （ｘ＋３）槡 ２ ＋ （ｘ－５）槡 ２的结果为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ｘ－２ Ｂ．－２ｘ＋２ Ｃ．２　　 Ｄ．６ 解析：由ｘ＜－３，可得ｘ＋３＜０，ｘ－５＜０．根据“当 ａ＜０时， ａ槡 ２ ＝－ａ”，可得原式 ＝－（ｘ＋３）－（ｘ－５） ＝－ｘ－３－ｘ＋５＝－２ｘ＋２．故选Ｂ． 例２　实数ａ，ｂ在数轴上对应点的位置如图１所 示，化简 （ｂ＋ｃ）槡 ２ ＋｜ａ－ｃ｜＋ ａ２－２ａｂ＋ｂ槡 ２ ＝ ． 解析：原式可变形为 （ｂ＋ｃ）槡 ２ ＋｜ａ－ｃ｜＋ （ａ－ｂ）槡 ２． 由数轴可知ｂ＜ａ＜０＜ｃ，且｜ｂ｜＞｜ａ｜＞｜ｃ｜， 所以ｂ＋ｃ＜０，ａ－ｃ＜０，ａ－ｂ＞０， 所以原式 ＝－（ｂ＋ｃ）－（ａ－ｃ）＋（ａ－ｂ）＝－ｂ －ｃ－ａ＋ｃ＋ａ－ｂ＝－２ｂ．故填 －２ｂ． 例３　 化简： １６－８ａ＋ａ槡 ２ －（ ２ａ－槡 １０） ２ ＝ ． 解 析： 原 式 可 以 变 形 为 （４－ａ）槡 ２ － （ ２ａ－槡 １０） ２．本题没有给出实数 ａ的取值范围，但原 式成立的隐含条件为２ａ－１０≥０，即ａ≥５，则４－ａ＜ ０，所以原式 ＝－（４－ａ）－（２ａ－１０）＝－４＋ａ－２ａ＋ １０＝－ａ＋６．故填 －ａ＋６． 例４　化简二次根式 －ｘ槡 ３的结果是 （　　） Ａ． 槡ｘ －ｘ Ｂ． 槡－ｘｘ Ｃ．槡ｘｘ Ｄ． 槡－ｘ －ｘ 解析：根据二次根式的定义得 －ｘ３≥０，所以 ｘ≤ ０，所以原式 ＝ ｘ２×（－ｘ槡 ） 槡＝－ｘ －ｘ．故选Ｄ． 【变式训练】 １．若１≤ｘ≤４，则化简｜１－ｘ｜－ ｘ２－８ｘ＋槡 １６ 的结果是 （　　） Ａ．２ｘ－５ Ｂ．３ Ｃ．３－２ｘ Ｄ．－３ ２．已知实数 ａ在数轴上的位 置如图２所示，则化简｜ａ－２｜＋ ａ槡 ２的结果为 ． ３．化 简 （ ４槡 －ｘ） ２ ＋ （ｘ－５）槡 ２ 的 结 果 是 ． ４．化简：ｘ －１槡 ｘ ＝ ． 书 数学思想是数学的灵魂，是研究和解决数学问题的 “金钥匙”，解题时若能灵活应用，则可使同学们的思维 更敏捷、思路更清晰，二次根式化简、求值中的数学思想 主要有以下几种． 一、数形结合思想助力二次根式的化简 例１　已知实数ａ，ｂ在数轴上的位置如图１所示．化 简 ａ槡 ２ － ｂ槡 ２ － （ｂ－１）槡 ２的结果是 （　　） Ａ．１－ａ　　　　　　　　Ｂ．－ａ－１ Ｃ．ａ－１ Ｄ．ａ＋１ 解：根据数轴，得 －１＜ａ＜０，０＜ｂ＜１， 所以 －１＜ｂ－１＜０． 所以原式 ＝－ａ－ｂ＋ｂ－１＝－ａ－１． 故选Ｂ． 变式训练１：实数ａ，ｂ在数轴上的位置如图２所示， 则化简 （ａ＋ｂ）槡 ２的结果是 （　　） Ａ．ａ