第7期 22.2相似三角形的判定-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（沪科安徽专版）

书 类型１：已知条件涉及平行线 例１　如图１，在△ＡＢＣ中，点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ边上，ＤＥ ∥ＡＣ，∠ＤＥＦ＝∠Ａ．求证：△ＢＤＥ ∽△ＥＦＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＡＣ，所以 △ＢＤＥ∽△ＢＡＣ，∠ＢＤＥ＝∠Ａ，因 为∠ＤＥＦ＝∠Ａ，所以∠ＢＤＥ＝∠ＤＥＦ，所以ＥＦ∥ＡＢ， 所以△ＥＦＣ∽△ＢＡＣ，所以△ＢＤＥ∽△ＥＦＣ． 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可直接利用 “平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三 角形与原三角形相似”来证明两个三角形相似． 类型２：已知条件只涉及角 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ 中，点Ｄ在ＢＣ边上，点Ｅ在ＡＣ 边上，当∠ＡＤＢ＝∠ＤＥＣ时， 求证：△ＡＥＤ∽△ＡＤＣ． 证明：因为 ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＤＥＣ，所以 １８０°－∠ＡＤＢ ＝１８０°－∠ＤＥＣ，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＤ．因为∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ，所以△ＡＥＤ∽ △ＡＤＣ． 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用“两角分别 相等的两个三角形相似”来证明两个三角形相似．解决 这类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件． 类型３：已知条件既有角又有边 例 ３　 如图 ３，点 Ｄ为 △ＡＢＣ边ＡＢ上一点，ＡＤ＝２，ＢＤ ＝６，ＡＣ ＝４．求证：△ＡＣＤ∽ △ＡＢＣ． 证明：因为ＡＤ＝２，ＢＤ＝６，所以ＡＢ＝８．因为ＡＣ＝ ４，所以ＡＤＡＣ＝ ２ ４ ＝ １ ２， ＡＣ ＡＢ＝ ４ ８ ＝ １ ２，所以 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＣ ＡＢ． 又因为∠Ａ＝∠Ａ，所以△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ． 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例 时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似”来证明三角形相似． 类型４：已知条件只涉及边 例４　如图４，在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，点Ｄ，Ｄ′分 别是ＡＢ，Ａ′Ｂ′上的点，ＡＤＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，当 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ 时，求证：△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 证明：因为 ＡＤ ＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，所以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′． 因为 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′， 所以 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′， 所以△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用“三边成比 例的两个三角形相似”来证明两个三角形相似是常用 方法．判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大 小顺序排列． ! ! ! " # $ !! "! %! &! ! " ! " ' % & ! # ' ( ! " % $ !"#$%&'()*+,-. ! $ ! " % $ 书 上期３版 一、１．Ｄ；　２．Ａ； ３．Ｄ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．Ｂ；　７．Ｄ；　８．Ａ． 二、９．３４；　１０．１２； １１．１８；　１２．８； １３．１．５或９； １４．４３或 ２ ３． 三、１５．（１）ａ＋ｃ＋ｅｂ＋ｄ＋ｆ 的值为２． （２）因为 ａｂ ＝ ｃ ｄ ＝ ｅ ｆ＝２，所以 ａ ｂ ＝ －２ｃ －２ｄ＝ ３ｅ ３ｆ＝２，所以 ａ－２ｃ＋３ｅ ｂ－２ｄ＋３ｆ ＝２．因为ｂ－２ｄ＋３ｆ＝５， 所以ａ－２ｃ＋３ｅ＝２×５＝ １０，所以ａ－２ｃ＋３ｅ的值为 １０． １６．（１）因为 ｌ１ ∥ ｌ２∥ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ４ ８ ＝ １ ２，所以 ＤＥ ＝ １ ２ＥＦ＝６． （２）因为ｌ１∥ｌ２∥ｌ３， 所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ２ ３，所以 ＢＣ＝ ３２ＡＢ＝９，所以 ＡＣ ＝ＡＢ＋ＢＣ＝６＋９＝１５． １７．（１）证明：因为ＥＦ ∥ ＣＤ，所以 ＡＦ∶ＦＤ ＝ ＡＥ∶ＥＣ．因为ＤＥ∥ＢＣ，所 以ＡＤ∶ＢＤ＝ＡＥ∶ＥＣ，所 以ＡＦ∶ＦＤ＝ＡＤ∶ＢＤ． （２）因为 ＡＤ∶ＢＤ＝ ２∶１，所以ＢＤ＝ １２ＡＤ，所 以ＡＤ＋１２ＡＤ＝１５，所以 ＡＤ＝１０．因为 ＡＦ∶ＦＤ＝ ＡＤ∶ＤＢ，所以 ＡＦ∶ＦＤ＝ ２∶１，所以ＡＦ＝２ＤＦ．因为 ＡＦ＋ＤＦ＝１０，所以２ＤＦ＋ ＤＦ＝１０，所以ＤＦ＝１０３． １８．（１）由已知得 ＭＮ ＝ＡＢ＝２，ＭＤ＝ １２ＡＤ＝ １ ２ＢＣ，因为沿长边对折后 得到的矩形与原矩形相 似，所以矩形 ＤＭＮＣ与矩 形ＡＢＣＤ相似，所以ＤＭＡＢ ＝ ＭＮ ＢＣ，所以ＤＭ·ＢＣ＝ＡＢ· ＭＮ，即 １２ＢＣ ２ ＝４，所以 ＢＣ＝ 槡２２，即它的另一边 书 上期２版 ２２．１．１相似多边形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．２；　５．１４． 能力提高　６．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，所以∠ＦＡＥ＝∠ＡＥＢ． 因为ＥＦ∥ＡＢ，所以四边形 ＡＢＥＦ是平行四边形．因为 ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以 ∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ，所以 ∠ＢＡＥ＝ ∠Ａ