第4期 21.5.3反比例函数的应用-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（沪科安徽专版）

书 在近几年的中考试题中，总会出现一些将反比例函 数的图象与几何图形综合到一起考查的问题，这类问题 在考查反比例函数的同时，又考查了同学们对几何图形 性质的掌握程度，下面我们一起来看几道例题． 例１　 如图 １，点 Ａ在双曲线 ｙ＝４ｘ上，点Ｂ在双曲线ｙ＝ １２ ｘ上， 且ＡＢ∥ｘ轴，点Ｃ，Ｄ在ｘ轴上，若四 边形ＡＢＤＣ为矩形，则它的面积为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２ 分析：根据ｋ的几何意义直接计算即可． 解：延长ＢＡ交ｙ轴于点Ｅ，则ＢＥ⊥ｙ轴． 因为点Ａ在双曲线ｙ＝ ４ｘ上， 所以四边形ＡＥＯＣ的面积为４． 因为点Ｂ在双曲线ｙ＝１２ｘ上， 所以四边形ＢＥＯＤ的面积为１２， 所以矩形ＡＢＤＣ的面积为１２－４＝８． 故选Ｃ． 例２　如图２，在平面直角坐 标系中，正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ与 Ｄ在函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象 上，ＡＣ⊥ｘ轴，垂足为Ｃ，点Ｂ的坐 标 为 （０，２）， 则 ｋ的 值 为 ． 分析：连接ＢＤ，利用正方形的性质易得到点Ａ的坐 标，代入反比例函数表达式求解即可． 解：连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ′． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＣ⊥ｘ轴， 所以ＢＤ∥ｘ轴． 因为点Ｂ（０，２）， 所以Ｏ′Ｃ＝２＝ＢＯ′＝ＡＯ′＝ＤＯ′， 所以点Ａ的坐标为（２，４）， 所以ｋ＝８． 故填８． 例３　如图３，在直角坐标系中， 以坐标原点Ｏ（０，０），Ａ（０，４），Ｂ（３，０） 为顶点的 Ｒｔ△ＡＯＢ，其两个锐角对应 的外角角平分线相交于点 Ｐ，且点 Ｐ 恰好在反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上， 则ｋ的值为 （　　） Ａ．３６ Ｂ．４８ Ｃ．４９ Ｄ．６４ 分析：过点Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别 为Ｃ，Ｄ，Ｅ，利用勾股定理计算出ＡＢ＝５，根据角平分线 的性质得到ＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ，设（ｔ，ｔ），利用面积的和差求 出点Ｐ坐标，再代入ｙ＝ ｋｘ中即可． 解：过点Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别为 Ｃ，Ｄ，Ｅ． 因为Ａ（０，４），Ｂ（３，０）， 所以ＯＡ＝４，ＯＢ＝３，所以ＡＢ＝５． 因为△ＯＡＢ的两个锐角对应的外角角平分线相交 于点Ｐ，所以ＰＥ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＰＣ， 所以ＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ． 设ＰＣ＝ｔ，则点Ｐ（ｔ，ｔ）， 因为Ｓ△ＰＡＥ ＋Ｓ△ＰＡＢ ＋Ｓ△ＰＢＤ ＋Ｓ△ＯＡＢ ＝Ｓ矩形ＰＥＯＤ， 所以 １ ２·ｔ·（ｔ－４）＋ １ ２·５·ｔ＋ １ ２ｔ·（ｔ－３）＋ １ ２·３·４＝ｔ ２，解得ｔ＝６，所以点Ｐ（６，６）． 把点Ｐ（６，６）代入ｙ＝ ｋｘ中，解得ｋ＝３６． 故选Ａ． 书 １６．（１）反比例函数 的表达式为 ｙ２ ＝－ ６ ｘ， 一次函数表达式为ｙ１ ＝ １ ２ｘ＋４． （２）令 ｙ１ ＝０，即 １ ２ｘ＋４＝０，解得 ｘ＝ －８，所以Ｃ（－８，０），由图 象可直接得出当ｙ１ ＞０ 时，ｘ的取值范围为ｘ＞ －８． １７．（１）反比例函数 的表达式为ｙ＝３ｘ，一次 函数的表达式为ｙ＝ｘ＋ ２． （２）令ｙ＝ｘ＋２＝ ０，解得 ｘ＝－２，所以 Ｃ（－２，０），设点Ｐ的坐标 为ｐ，所以ＣＰ＝｜ｐ＋２｜， 所 以 Ｓ△ＡＣＰ ＝ １ ２ × ３｜ｐ＋２｜＝６，解得 ｐ１ ＝２，ｐ２ ＝－６，所以点Ｐ 的 坐 标 为 （２，０） 或 （－６，０）． １８．（１）过点 Ｃ作 ＣＭ⊥ｙ轴于点Ｍ．因为 ∠ＡＯＢ ＝ ∠ＣＭＡ ＝ ∠ＢＡＣ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＢＡＯ＋∠ＣＡＭ ＝９０°， ∠ＡＢＯ＋∠ＢＡＯ＝９０°， 所以 ∠ＡＢＯ ＝∠ＣＡＭ． 因为 ＢＡ ＝ＡＣ，所以 △ＡＯＢ≌ △ＣＭＡ，所以 ＯＢ＝ＡＭ，ＯＡ＝ＣＭ．因 为点Ａ的坐标是（０，６）， 点Ｂ的坐标是（－２，０）， 所以ＯＡ＝６，ＯＢ＝２，所 以ＣＭ＝６，ＡＭ＝２，所以 ＯＭ＝４，所以点Ｃ的坐标 是（６，４）． （２）因为点Ａ的坐 标是（０，６），点Ｃ的坐标 是（６，４），Ｄ为 ＡＣ的中 点，所以点 Ｄ（３，５）．因 为反比例函数 ｙ＝ ｋｘ 的图象经过点 Ｄ，所以 书 上期２版 ２１．５．１认识反比例函数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．±１； ５．ａ≠－３；　６．反． ７．（１）根据三角形的面积公式，可得ｙ＝１２×３×ｘ ＝ ３２ｘ，所以不是反比例函数． （２）因为ｖｔ＝２００，所以两个变量之间的函数表达 式为ｖ＝２００ｔ，是反比例函数． （３）因为ｙ＋１０ｘ＝１００，所以两个变量之间的函数 表达式为ｙ＝１００－１０ｘ，不是反比例函数． 能力提高 　８．因为反比例函数的关系式为 ｙ＝ ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ，所以｜ａ｜－２＝１，ａ＋３≠０，解得 ａ１ ＝３，ａ２ ＝ －３（不合题意，舍去）．所以ａ的值为３，该函数关系式为 ｙ＝ ６ｘ． ２１．５．２反比例函数的图象和性质（第一课时） 基础训