第6期 2.3等腰三角形；2.4线段的垂直平分线(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 等腰三角形的性质定理———“等边对等角”及判定 定理———“等角对等边”是一对重要定理，下面列举试 题加以分析说明． 一、等腰三角形的性质定理———“等边对等角” 例１　（２０２２鞍山）如图 １，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ＡＣ， ∠ＢＡＣ＝２４°，延长 ＢＣ到点 Ｄ，使 ＣＤ＝ＡＣ，连接 ＡＤ，则 ∠Ｄ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３９° Ｂ．４０° Ｃ．４９° Ｄ．５１° 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ ７８°，∠Ｄ＝∠ＣＡＤ，然后利用三角形外角的性质求出答 案即可． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠ＢＡＣ）＝７８°． 因为ＣＤ＝ＡＣ，所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝∠Ｄ＋∠ＣＡＤ， 所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３９°． 故选Ａ． 二、等腰三角形的判定定理———“等角对等边” 例２　（２０２２哈尔滨南岗区一 模）如图２，已知在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，∠Ａ＝３６°，ＣＤ是 △ＡＢＣ的角平 分线．求证：ＡＤ＝ＢＣ． 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ和∠ＡＣＢ的度数，根据三角形的 角平分线的定义可得∠ＡＣＤ的度数，再由等腰三角形的 判定定理即可得出结论． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝７２°． 因为ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＡＣＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３６°＝∠Ａ． 所以ＡＤ＝ＣＤ． 因为∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝７２°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＤＣ． 所以ＢＣ＝ＣＤ． 所以ＡＤ＝ＢＣ． 书 策略１：三边相等的三 角形是等边三角形 例１　 如图１，在等腰 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＦ为 ＢＣ边上的中线，Ｄ为 ＡＦ上 的一点，且 ＢＤ的垂直平分 线过点Ｃ并交ＢＤ于点Ｅ．求 证：△ＢＣＤ是等边三角形． 证明：因为 ＡＢ＝ＡＣ， ＡＦ为ＢＣ边上的中线，所以 ＡＦ⊥ ＢＣ，ＢＦ＝ＣＦ．所以 ＢＤ＝ＤＣ．因为ＣＥ是ＢＤ的垂直平分线，所以ＢＣ＝ＤＣ． 所以ＢＤ＝ＤＣ＝ＢＣ．所以△ＢＣＤ是等边三角形． 策略２：三个角都相等的三角形是等边三角形 例２　 如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ ＤＣ，ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，∠Ａ ＝６０°．求证：△ＡＢＤ是等边三角 形． 证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，∠Ａ＝ ６０°，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＣＤＢ，∠ＡＤＣ＝１８０°－∠Ａ＝ １２０°．因为 ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝ １ ２∠ＡＤＣ＝６０°．所以∠Ａ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝６０°． 所以△ＡＢＤ是等边三角形． 策略３：有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形 例 ３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ａ沿直线ＡＥ折叠 这个三角形，使点Ｃ落在ＡＢ边上的 点Ｄ处，连接ＤＣ．若ＡＥ＝ＢＥ，求证： △ＡＤＣ是等边三角形． 证明：根据折叠的性质，得 ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＥ＝ ∠ＤＡＥ．因为ＡＥ＝ＢＥ，所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．因为∠ＡＣＢ ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＣＡＢ＝３∠Ｂ＝９０°．解得∠Ｂ＝ ３０°．所以∠ＣＡＢ＝６０°．所以△ＡＤＣ是等边三角形． 书 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰 三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相 互重合． 该性质其实包括以下三方面的内容： 如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｄ是ＢＣ上的一点． （１）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底 边ＢＣ上的中线，那么ＡＤ是顶角 ∠ＢＡＣ的平分线，也是底边 ＢＣ 上的高． （２）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ顶角∠ＢＡＣ的平分线，那 么ＡＤ是底边ＢＣ上的中线，也是底边ＢＣ上的高． （３）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高，那么ＡＤ 是顶角∠ＢＡＣ的平分线，也是底边ＢＣ上的中线． “三线合一”的性质给我们提供了说明角相等、直 线垂直、线段相等的新思想和新方法．在解答一些与图 形有关的问题时，要注意灵活运用它，下面举例来说明 这一性质的重要应用． 例　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＤＥ⊥ ＡＢ 于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝ ２．５ｃｍ，则ＢＦ＝ ｃｍ． 分析：根据等腰三角形的“三线合一”得出 ＢＤ＝ ＣＤ．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ·ＤＥ． 又Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，将ＡＣ＝ＡＢ代入即可求出ＢＦ． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以ＢＤ＝ＣＤ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝２．５ＡＢ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ， 所以 １ ２ＡＣ·ＢＦ＝２．５ＡＢ． 因为ＡＣ＝ＡＢ，所以 １２ＢＦ＝２．５． 解得ＢＦ＝５ｃｍ． 故填５． 如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线． 已知∠