第2期 1.2怎样判定三角形全等（AAS，SSS）；1.3尺规作图(答案见第4期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 在学习了探索三角形全等的条件后，我们可以借助 全等三角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方 法作三角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ，连接ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连接ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图２）． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；② 尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶点， 再在ＡＢ边的同一侧，分别以Ａ，Ｂ两点为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以 Ａ，Ｂ两点为顶点，射线 ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ边的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求（如图４）． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形的三条边分别为ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，以ａ，ｂ长为半径画弧交于 点Ｃ； （３）连接ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图６）． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析 条件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的方 法和步骤． 书 两个三角形全等的判定方法有“ＳＳＳ”，“ＳＡＳ”， “ＡＳＡ”，“ＡＡＳ”，它们都需要三个条件，而常见的试题却 往往只给出两个明显的已知条件，面对“二缺一”的局 面，到底选择哪种方法来判定呢？ 一、已知两边对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ 方法一 找第三边对应相等：首先判断 ＡＣ＝ＤＦ，然 后应用“ＳＳＳ”判定全等 方法二 找已知两边的夹角对应相等：首先判断∠Ｂ ＝∠Ｅ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 例１　（２０２３成都天府新 区模拟）如图 １，已知 ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＤ＝ＣＦ，添加下列条件， 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ Ｂ．∠Ａ＝∠ＦＤＥ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠Ｆ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解析：因为ＡＤ＝ＣＦ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即 ＡＣ＝ＤＦ．要判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经有两边对应相 等，应添加这两边的夹角对应相等或第三边对应相等． 添加ＡＣ＝ＤＦ或∠ＡＣＢ＝∠Ｆ或∠Ｂ＝∠Ｅ，不能 判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； 添加 ∠Ａ＝∠ＦＤＥ，根据“ＳＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ． 故选Ｂ． 二、已知两角对应相等 已知条件 ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知两角的夹边对应相等：首先判断 ＡＢ ＝ＤＥ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法二 找已知一角的对边相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ 或者ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例２　（２０２３银川兴庆区一 模）如图 ２，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ， ∠Ａ＝∠Ｄ，请你再补充一个条 件，使△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，你补充的 条件是 ． 解析：由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ．要判定 △ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，应添加一组边对应相等． 添加ＡＯ＝ＤＯ，根据“ＡＳＡ”判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ； 添加ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ，根据“ＡＡＳ”判定△ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ． 故填ＡＯ＝ＤＯ或ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ． 三、已知一边、一角对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 方法二 找已知边的另一邻角对应相等：首先判断 ∠Ａ＝∠Ｄ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法三 找已知边的对角对应相等：首先判定 ∠Ｃ ＝∠Ｆ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例３　（２０２３昆明一模）如 图３，已知 ∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，点 Ａ，Ｂ，Ｅ共线，添加下列条件不能 判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ的是 （　　） Ａ．∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｃ．ＤＡ＝ＣＡ Ｄ．ＤＢ＝ＣＢ 解析：由图可知，ＡＢ是公共边． 添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ，因为∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＢＥ－∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＥ－∠ＣＡＢ，即∠Ｄ＝∠Ｃ，根据 “ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ；