第1期 1.1全等三角形；1.2怎样判定三角形全等（SAS，ASA）(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 一、全等三角形的性质“独奏” 例１　（２０２３昌江一模）如图１， 已知 △ＣＡＤ≌ △ＣＢＥ．若 ∠Ａ＝ ２０°，∠Ｃ＝６０°，则∠ＣＥＢ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．８０° Ｂ．９０° Ｃ．１００° Ｄ．１１０° 解：因为∠Ａ＝２０°，∠Ｃ＝６０°，所以∠ＣＤＡ＝１８０° －∠Ａ－∠Ｃ＝１００°．因为△ＣＡＤ≌△ＣＢＥ，所以∠ＣＥＢ ＝∠ＣＤＡ＝１００°． 故选Ｃ． 二、全等三角形的判定“独奏” 例２　（２０２３化州一模） 如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ∥ ＣＤ，ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，且 ＡＥ＝ＣＦ．试说明：△ＡＥＢ≌ △ＣＦＤ． 解：因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，所以∠ＢＥＡ＝∠ＤＦＣ ＝９０°．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ．在△ＡＥＢ 与△ＣＦＤ中，因为∠ＢＥＡ＝∠ＤＦＣ，ＡＥ＝ＣＦ，∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＣＦ，由ＡＳＡ，所以△ＡＥＢ≌△ＣＦＤ． 三、全等三角形的性质与判定“合奏” 例３　（２０２３韶关曲江区一模）如图 ３，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＝２５°，∠Ｄ ＝８０°，则∠ＢＣＡ的度数为 （　　） Ａ．２５° Ｂ．５０° Ｃ．６５° Ｄ．７５° 解：在△ＡＢＣ与△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，ＡＣ＝ＡＣ，由 ＳＡＳ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｄ＝８０°．所以 ∠ＢＣＡ＝１８０°－ ∠ＢＡＣ－∠Ｂ＝７５°． 故选Ｄ． 例４　如图４，在 △ＡＢＣ中，已 知∠Ｂ＝４０°，∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＥ＝ＣＦ， ∠ＡＥＦ＝∠ＣＦＤ，求∠ＥＦＤ的度数． 解：在△ＡＥＦ与△ＣＦＤ中，因为 ∠Ａ ＝ ∠Ｃ，ＡＥ ＝ ＣＦ，∠ＡＥＦ ＝ ∠ＣＦＤ，由 ＡＳＡ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＣＦＤ．所以∠ＡＦＥ＝∠ＣＤＦ．因为∠Ｂ＝４０°，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝１２（１８０°－∠Ｂ）＝７０°．所以∠ＥＦＤ＝１８０°－ ∠ＡＦＥ－∠ＣＦＤ＝１８０°－∠ＣＤＦ－∠ＣＦＤ＝∠Ｃ＝７０°． 书 学习全等三角形时，我们用全等符号“≌”来表示 全等．但实际上，全等与“≌”的意义是不相同的．当我 们说△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ时，表明ＡＢ的对应边是ＤＥ，ＡＣ的 对应边是 ＤＦ，ＢＣ的对应边是 ＥＦ；∠ＡＢＣ的对应角是 ∠ＤＥＦ，∠ＡＣＢ的对应角是 ∠ＤＦＥ，∠ＢＡＣ的对应角是 ∠ＥＤＦ．但当我们说△ＡＢＣ与△ＤＥＦ全等时，却不能确 定两个三角形中的对应角与对应边，需要根据问题的具 体条件进行判断． 一、图形特征法 １．有公共边的，公共边一定是对应边． 如图１，△ＡＤＢ和△ＤＡＣ全等，则ＡＤ和ＤＡ一定是两 个三角形的对应边． ２．有公共角的，公共角一定是对应角． 如图２，△ＡＢＤ和△ＡＣＥ全等，则 ∠ＤＡＢ和 ∠ＥＡＣ 是对应角． ３．有对顶角的，对顶角一定是对应角． 如图３，△ＡＢＥ和△ＣＤＥ全等，则∠１和∠２是对应 角． ４．对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对 应角． ５．两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角）， 最小边（角）是对应边（角）． 二、分离图形法 从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分比较 困难，这时可把要说明全等的两个三角形从复杂图形中 分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单明了，便可 找出对应元素． 例　如图４，△ＡＣＤ和△ＢＣＥ 都是等边三角形，若 △ＡＣＥ和 △ＤＣＢ全等，且ＢＤ＝８ｃｍ，∠ＤＢＣ ＝２５°，∠ＡＣＥ＝１１５°． （１）求ＡＥ的长； （２）求∠ＤＣＢ与∠ＢＤＣ的度数． 解析：将图４分解为如图５所示的图形，则容易找出 △ＡＣＥ和△ＤＣＢ的对应边和对应角： ＡＣ和ＤＣ，ＥＣ和ＢＣ，ＥＡ和ＢＤ分别是对应边； ∠ＡＥＣ 和 ∠ＤＢＣ，∠ＥＡＣ 和 ∠ＢＤＣ，∠ＡＣＥ 和 ∠ＤＣＢ分别是对应角．所以 （１）ＡＥ＝ＢＤ＝８ｃｍ． （２）∠ＤＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＝１１５°，∠ＢＤＣ ＝１８０°－ ∠ＤＢＣ－∠ＤＣＢ＝４０°． 书 全等三角形是初中数 学的重要内容，它存在于 众多的情境中，下面举例 加以说明，供同学们赏析． 一、网格中的全等三 角形 例 １　 如图 １是由 ４个相同的小正方形组成 的网格图，则∠１＋∠２＝ （　　） Ａ．１５０° Ｂ．１８０° Ｃ．２１０° Ｄ．２２５° 解：在△ＡＢＣ与△ＥＤＣ中， 因为ＡＢ＝ＥＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＣ， 由ＳＡＳ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＣ． 所以∠ＢＡＣ＝∠１． 所以∠１＋∠２＝１８０°． 故选Ｂ． 二、平面直角坐标系中的全等三角形 例２　在平面直角坐标系中，点 Ａ（－３，０），Ｂ（２， ０），Ｃ（－１，２），Ｅ（４，２）．如果△ＡＢＣ与△ＥＦＢ全等，那 么点Ｆ的坐标