第4期 12.1幂的运算(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 逆向思维是体现发散思维的重要内容，是培养同学 们思维品质的重要方法，现就幂的运算法则的逆向运用 举例说明如下，供同学们参考． 一、逆用同底数幂的乘法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 若ａｍ ＝２，ａｎ ＝３，则ａｍ＋ｎ的值为 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．９ 分析：为了能使待求式直接运用已知条件，可以逆 向运用同底数幂的乘法法则将待求式变形，即ａｍ＋ｎ＝ａｍ ·ａｎ． 解：因为ａｍ ＝２，ａｎ ＝３， 所以ａｍ＋ｎ ＝ａｍ·ａｎ ＝２×３＝６． 故选Ｂ． 二、逆用幂的乘方 例２　已知ｘｍ ＝３，ｘｎ ＝２，那么ｘ２ｍ＋３ｎ ＝ （　　） Ａ．１７ Ｂ．５４ Ｃ．７２ Ｄ．８１ 分析：逆用同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对 式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 解：因为ｘｍ ＝３，ｘｎ ＝２， 所以ｘ２ｍ＋３ｎ ＝ｘ２ｍ·ｘ３ｎ ＝（ｘｍ）２·（ｘｎ）３＝３２×２３＝ ９×８＝７２． 故选Ｃ． 三、逆用积的乘方 例３　计算：－（－５１４） ２０２３×（２４５） ２０２３． 分析：本题直接计算不仅计算量大，而且容易出错， 若逆用积的乘方的运算法则，则可以将问题转化为两个 简单的分数相乘． 解：原式＝－（－５１４× １４ ５） ２０２３ ＝－（－１）２０２３ ＝１． 四、逆用同底数幂的除法 例４　若３ｍ ＝４，９ｎ ＝５，则３ｍ－２ｎ的值为 （　　） Ａ．５４ Ｂ． ４ ５ Ｃ．５８ Ｄ． ８ ５ 分析：因为待求式的底数为３，而９＝３２，所以可先 把９ｎ转化成底数为３的形式，再逆用同底数幂的除法法 则求解即可． 解：因为９ｎ ＝５， 所以（３２）ｎ ＝５，即３２ｎ ＝５． 又因为３ｍ ＝４， 所以３ｍ－２ｎ ＝３ｍ ÷３２ｎ ＝４÷５＝ ４５． 故选Ｂ． 五、综合逆用幂的运算法则 例５　若１０３ｘ ＝１２５，则１０１＋ｘ ＝ ． 分析：根据已知条件逆向运用幂的乘方法则，将１０３ｘ 转化为（１０ｘ）３求出１０ｘ的值，然后逆向运用同底数幂的 乘法法则将１０１＋ｘ转化为１０×１０ｘ即可得解． 解：因为１０３ｘ ＝１２５， 所以（１０ｘ）３ ＝５３． 所以１０ｘ ＝５． 所以１０１＋ｘ ＝１０×１０ｘ ＝１０×５＝５０． 故填５０． 书 同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方是整 式乘除运算的基础，也是进行整式乘除运算的依据，所 以学好幂的有关运算十分重要． 一、同底数幂的乘法 ａｍ·ａｎ ＝ａｍ＋ｎ（ｍ，ｎ都是正整数）． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 注意：①在这个等式中，等式左边的两个幂的底数相 同，且是乘积的关系，而右边是一个幂，与左边相比，底数 不变，指数是由左边的两个幂的指数相加而得到的． ②三个或三个以上的同底数幂相乘，也具有这一性 质，如ａｍ·ａｎ·ａｐ ＝ａｍ＋ｎ＋ｐ（ｍ，ｎ，ｐ都是正整数）． ③注意分清底数和指数，把同底数幂的乘法与合并 同类项区分开． 例１　计算ａ２·ａ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ａ Ｂ．３ａ Ｃ．２ａ２ Ｄ．ａ３ 解析：根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 原式 ＝ａ２＋１ ＝ａ３． 故选Ｄ． 二、幂的乘方 （ａｍ）ｎ ＝ａｍｎ（ｍ，ｎ都是正整数）． 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 注意：①幂的乘方和同底数幂的乘法的区别：前者 是指数相乘，后者是指数相加． ②多重乘方也具有这一性质，如［（ａｍ）ｎ］ｐ ＝ ａｍｎｐ（ｍ，ｎ，ｐ都是正整数）． 例２　计算：（－ａ３）２ ＝ ． 解析：根据幂的乘方法则进行计算即可． 原式 ＝ａ３×２ ＝ａ６． 故填ａ６． 三、积的乘方 （ａｂ）ｎ ＝ａｎｂｎ（ｎ是正整数）． 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘． 注意：①具体运算时，一定要将积中的每一个因式 都乘方，不要漏乘． ②三个或三个以上的积的乘方也具有这一性质，如 （ａｂｃ）ｎ ＝ａｎｂｎｃｎ（ｎ是正整数）． 例３　计算（２ａ４）３的结果是 （　　） Ａ．２ａ１２ Ｂ．８ａ１２ Ｃ．６ａ７ Ｄ．８ａ７ 解析：先根据积的乘方法则进行计算，再根据幂的 乘方法则进行计算即可． 原式 ＝２３·（ａ４）３ ＝８ａ１２． 故选Ｂ． 四、同底数幂的除法 ａｍ ÷ａｎ＝ａｍ－ｎ（ａ≠０，ｍ，ｎ都是正整数，且ｍ＞ｎ）． 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意：①和同底数幂的乘法类似，被除式、除式和商 都是幂的形式且底数一定相同，商中幂的指数是被除式 的指数与除式的指数之差． ②等式中的“ａ”不为０． ③三个或三个以上的同底数幂相除，也具有这一性 质，如ａｍ ÷ａｎ÷ａｐ＝ａｍ－ｎ－ｐ（ａ≠０，ｍ，ｎ，ｐ都是正整数， 且ｍ＞ｎ＋ｐ）． 例４　计算ａ３÷ａ得ａ？，则“？”是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 解析：根据同底数幂的除法法则进行计算即可