第1期 11.1平方根与立方根(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 平方根是初中数学中的一个重要概念，它的题型较 多，下面让我们一起领略一下吧！ 一、规律型 例１　阅读下面材料： １槡 ３ ＝ １槡 ２ ＝１； １３＋２槡 ３ ＝ ３槡 ２ ＝３； １３＋２３＋３槡 ３ ＝ ６槡 ２ ＝６； １３＋２３＋３３＋４槡 ３ ＝ １０槡 ２ ＝１０； …… 根据上面的规律，解决问题： （１） １３＋２３＋３３＋４３＋５３＋６槡 ３ ＝ ＝ ； （２）求 １３＋２３＋３３＋… ＋ｎ槡 ３的值（用含 ｎ的代 数式表示）． 分析：（１）观察各个等式中最左边的被开方数中各 个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论； （２）利用发现的规律解答即可． 解：（１） ２１槡 ２，２１； （２）根 据 上 述 材 料 中 发 现 的 规 律， 可 得 １３＋２３＋３３＋… ＋ｎ槡 ３ ＝ （１＋２＋３＋… ＋ｎ）槡 ２ ＝ｎ（ｎ＋１）２ ． 二、实际应用型 例２　某小区为了促进全民健身活动的开展，决定 在一块面积为１０００ｍ２的正方形空地上建一个篮球场． 已知篮球场的面积为４２０ｍ２，其中长是宽的２８１５倍，篮球 场的四周必须留出１ｍ宽的空地，请你通过计算说明能 否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 分析：设篮球场的宽为ｘｍ，则长为２８１５ｘｍ．要判断能 否按规定在这块空地上建一个篮球场，只需判断（ ２８ １５ｘ＋ ２）２是否小于或等于１０００即可． 解：设篮球场的宽为ｘｍ，则长为２８１５ｘｍ． 根据题意，得 ２８ １５ｘ·ｘ＝４２０． 解得ｘ＝±１５． 因为ｘ为正数， 所以ｘ＝１５． 所以该篮球场的长和两侧空地的总长为： ２８ １５ｘ＋２ ＝２８１５×１５＋２＝３０（ｍ）． 因为３０２ ＝９００＜１０００， 所以能按规定在这块空地上建一个篮球场． 书 立方根是方根家族中 的重要成员，今天立方根 “个人专辑”正式发行，下 面让我们先睹为快吧！ 曲目一、求立方根 例１　 求下列各数的 立方根： （１）－８； （２）１２５２７； （３）０．００１． 解析：求一个数的立方 根可借助立方来求，同时要 注意正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数，０的 立方根是０． （１）因为（－２）３ ＝ －８，所以 －８的立方根是 －２，即 ３－槡 ８＝－２； （２）因为（５３） ３ ＝１２５２７，所以 １２５ ２７的立方根是 ５ ３，即 ３１２５ 槡２７ ＝ ５ ３； （３）因为 ０．１３ ＝０．００１，所以 ０．００１的立方根是 ０．１，即 ３０．槡 ００１＝０．１． 曲目二、化简求值 例２　计算： ３ （－５）槡 ３ － ３ １－７槡 ８． 解析：先求立方根，然后再作加减运算即可． ３ （－５）槡 ３ － ３ １－７槡 ８ ＝－５－ １ ２ ＝－ １１ ２． 曲目三、解方程 例３　已知（２ｘ－１）３－８＝０，求ｘ的值． 解析：由已知，得（２ｘ－１）３＝８．根据立方根的意义 可知，２ｘ－１是８的立方根．又知８的立方根是２，所以２ｘ －１＝２．解得ｘ＝ ３２． 曲目四、实际应用 例４　一块长方体红砖，体积为１７２８立方厘米， 长、宽、高的比是４∶２∶１，求它的长、宽、高各是多少． 解析：设这个长方体红砖的长是４ｘ厘米，宽是２ｘ厘 米，高是ｘ厘米． 根据题意，得４ｘ·２ｘ·ｘ＝１７２８，即８ｘ３ ＝１７２８． 解得ｘ＝６． 所以４ｘ＝２４，２ｘ＝１２． 答：这个长方体红砖的长是２４厘米，宽是１２厘米， 高是６厘米． 书 平方根、算术平方根和立方根是三个重要的知识 点，频繁出现在各种不同类型的考试题中，这“三兄弟” 经常一起出场，互相搭桥，联合演绎一道道好题．下面撷 取几例，供同学们参考． 一、平方根联合立方根 例１　已知一个正数ｘ的两个平方根是ａ＋１和ａ－ ５，求ｘ－８的立方根． 解：根据题意，得ａ＋１＋ａ－５＝０． 解得ａ＝２． 所以ａ＋１＝３． 所以ｘ＝９． 所以ｘ－８＝１． 因为１的立方根是１， 所以ｘ－８的立方根是１． 例２　已知４ａ＋７的立方根是３，求６ａ＋６的平方根． 解：根据题意，得４ａ＋７＝２７． 解得ａ＝５． 所以６ａ＋６＝３６． 因为３６的平方根是 ±６， 所以６ａ＋６的平方根是 ±６． 二、平方根、立方根联合算术平方根 例３　已知某正数的两个平方根是 －１和ａ－４，ｂ＋ １２的立方根是 －２，求ａ－ｂ的算术平方根． 解：根据题意，得ａ－４＝１，ｂ＋１２＝－８． 解得ａ＝５，ｂ＝－２０． 所以ａ－ｂ＝２５． 因为２５的算术平方根是５， 所以ａ－ｂ的算术平方根是５． 三、立方根、算术平方根联合立方根 例４　已知２ａ＋１的算术平方根是３，３ａ－ｂ－１的 立方根是２，求ａ＋２０ｂ的立方根． 解：根据题意，得２ａ＋１＝９，３ａ－ｂ－１＝８． 解得ａ＝４，ｂ＝３． 所以ａ＋２０ｂ＝６４． 因为６４的立方根是４， 所以ａ