第8期 13.2命题与证明(答案见第10期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 一、理解命题的定义 对某一事件作出正确或不正确判断的语句，叫做命题． 例１　下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？ （１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＞０； （２）如果∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，那么∠Ａ与∠Ｂ互为余角； （３）吸烟对身体有害； （４）画一个角； （５）对顶角； （６）内错角相等． 解：（１）（２）（３）（６）是命题，它们都指出了是什么 或不是什么，其中（３）不是数学范畴的命题．（４）（５）不 是命题，（４）只是描述一个过程，并没有作出判断，（５） 是一个几何名词． 二、识别真假命题 如果条件成立，那么结论一定成立的命题是真命 题；如果条件成立时，但不能保证结论总是正确的，即结 论不成立，这样的命题是假命题．判断一个命题是真命 题时，可以用演绎推理加以论证；而判断一个命题是假 命题时，只要举出一个符合该命题的条件，而不符合该 命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举 反例”． 例２　判断下列命题是真命题还是假命题，如果是 假命题，请举出一个反例． （１）相等的角是对顶角； （２）同位角相等； （３）若ｘ＞２，则ｘ－３＞０． 解：（１）是假命题．如：如图１，若 ∠ＡＯＣ＝９０°，ＯＢ 是∠ＡＯＣ的平分线，则 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ，但 ∠ＡＯＢ与 ∠ＣＯＢ不是对顶角． （２）是假命题．如：如图２，∠１和 ∠２是同位角，显 然，∠１＜∠２． （３）是假命题．如：当ｘ＝２．５时，ｘ－３＜０． 三、区分条件与结论 命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事 项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可写成 “如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是 条件，用“那么”开始的部分是结论．有些命题的条件和 结论不是很明显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成 “如果……那么……”的形式，但在改写时，不能简单地 加上“如果”“那么”，应把省略的成分补充出来，即可改 成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 例３　指出下列命题的条件和结论． （１）同角的补角相等； （２）在同一平面内，两条直线不平行，它们一定相 交； （３）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行． 解：（１）命题可改写成：如果两个角是同一个角的 补角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的补 角；结论：这两个角相等． （２）条件：在同一个平面内，两条直线不平行；结 论：这两条直线一定相交． （３）条件：两条直线都与第三条直线平行；结论：这 两条直线也互相平行． 书 １６．因为 ∠ＡＢＣ＝ ４０°，∠Ｃ ＝６０°，所以 ∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ －∠Ｃ＝８０°．因为 ＡＥ 是 △ＡＢＣ的角平分线， 所 以 ∠ＢＡＥ ＝ １ ２∠ＢＡＣ＝４０°．因为 ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以 ∠ＡＤＢ ＝ ９０°．所 以 ∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＤＢ －∠ＡＢＤ ＝５０°．所以 ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＢＡＤ － ∠ＢＡＥ＝１０°． 因为 ＢＦ是 △ＡＢＣ 的角平分线，∠ＡＢＣ＝ ４０°，所 以 ∠ＡＢＯ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２０°．所以 ∠ＡＯＢ＝１８０°－∠ＢＡＥ －∠ＡＢＯ＝１２０°．所以 ∠ＢＯＥ＝１８０°－∠ＡＯＢ ＝６０°． １７．因 为 ＢＤ 为 △ＡＢＣ的中线，所以ＡＤ ＝ ＣＤ． 因 为 ＢＤ 将 △ＡＢＣ分成的两个小三 角形的周长的差为 ２， 所以｜ＡＢ＋ＡＤ＋ＢＤ－ （ＣＤ＋ＢＣ＋ＢＤ）｜＝ ｜ＡＢ－ＢＣ｜＝２．所以 ＡＢ－ＢＣ＝２或ＡＢ－ＢＣ ＝－２．因为△ＡＢＣ的周 长为１６，ＡＢ＝ＡＣ，所以 ２ＡＢ＋ＢＣ ＝ １６．解 ＡＢ－ＢＣ＝２， ２ＡＢ＋ＢＣ＝１６{ ， 得 ＡＢ＝６， ＢＣ＝４{ ． 解 ＡＢ－ＢＣ＝－２， ２ＡＢ＋ＢＣ＝１６{ ， 得 ＡＢ＝１４３， ＢＣ＝２０３ { ．因为 ４，６，６ 和 １４ ３， １４ ３， ２０ ３都满足三 角形的三边关系，所以 △ＡＢＣ各边的长分别是 ＡＢ＝ＡＣ＝６，ＢＣ＝４或 ＡＢ＝ＡＣ＝１４３，ＢＣ＝ ２０ ３． 书 上期２版 １３．１三角形中的边角关系 １３．１．１三角形中边的关系 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１；　４．６． ５．因为△ＡＢＣ是等腰三角形，所以ＡＣ＝２０或８． 因为２０＋８＝２８＞２０，８＋８＝１６＜２０，所以ＡＣ＝２０， 即２ｍ－２＝２０．解得ｍ＝１１． ６．在△ＡＢＰ中，根据三角形的三边关系，得 ＰＡ＋ ＰＢ＞ＡＢ． 同理，ＰＢ＋ＰＣ＞ＢＣ，ＰＡ＋ＰＣ＞ＡＣ． 以上三式相加，得２（ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ）＞ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ． 所以ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＞ １２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）． 能力提高　７．（１）３，５，７，１３． （２）第ｎ个图形中有（２ｎ－１）个三角形． １３．１．２三角形中角的关系 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．锐角；　４．９０°； ５．８０