第1期 11.1平面内点的坐标；11.2图形在坐标系中的平移(答案见第3期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书 在平面直角坐标系中， 利用相关点的坐标可以求坐 标系中的三角形和四边形的 面积，常见方法有补形法和 分割法两种．现举例解析如 下，供同学们参考． 一、补形法 例１　如图１，在平面直 角坐标系中，已知点 Ａ（３， ３），Ｂ（５，１），Ｃ（－２，－３），求 三角形ＡＢＣ的面积． 解：如图１，过点Ａ作平行于ｘ轴的直线，过点Ｃ作 平行于ｘ轴，ｙ轴的直线，过点Ｂ作平行于ｙ轴的直线， 分别交于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，得到长方形ＤＣＥＦ． 由图可得，Ｓ长方形ＤＣＥＦ ＝６×７＝４２，Ｓ三角形ＡＣＤ ＝ １ ２× ６×５＝１５，Ｓ三角形ＡＢＦ ＝ １ ２×２×２＝２，Ｓ三角形ＢＣＥ ＝ １ ２× ７×４＝１４． 所以Ｓ三角形ＡＢＣ ＝Ｓ长方形ＤＣＥＦ－（Ｓ三角形ＡＣＤ＋Ｓ三角形ＡＢＦ＋ Ｓ三角形ＢＣＥ）＝４２－（１５＋２＋１４）＝１１． 二、分割法 例２　如图２，在平面直角 坐标系中，已知四边形 ＡＢＣＯ 各个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 Ａ（－１，３），Ｂ（－３，２），Ｃ（－４， ０），Ｏ（０，０），求四边形 ＡＢＣＯ 的面积． 解：如图２，过点Ａ，Ｂ分别 作 ＡＥ，ＢＦ垂直于ｘ轴，垂足为点Ｅ，Ｆ．由图易得Ｅ（－１， ０），Ｆ（－３，０）． 所以Ｓ三角形ＡＥＯ ＝ １ ２×１×３＝ ３ ２，Ｓ三角形ＢＣＦ ＝ １ ２× １×２＝１，Ｓ梯形ＡＥＦＢ ＝ １ ２×（２＋３）×２＝５． 所以Ｓ四边形ＡＢＣＯ ＝Ｓ三角形ＡＥＯ ＋Ｓ三角形ＢＣＦ ＋Ｓ梯形ＡＥＦＢ ＝ ３ ２＋１＋５＝ １５ ２． ! " # $ % & ! ! "#"!"$%&%' # ! $ & ' ' ( 书 有一天，笛卡尔（１５９６－１６５０，法国哲学家、数学 家、物理学家）生病卧床，但他大脑一直没有休息，在反 复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比 较抽象，能不能用几何图形来表示代数方程呢？这里最 关键的是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一 组数挂上钩．他拼命琢磨：通过什么样的办法才能把点 和数联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉 着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边 左右拉丝．蜘蛛的“表演”，使笛卡尔的思路豁然开朗． 他想，可以把蜘蛛看作一个点，它在屋子里可以上、下、 左、右移动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下 来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条 线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线 作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可 以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？ 反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如３，２，１，也可 以用空间中的一个点 Ｐ来表示它们．同样，用一组数 （ａ，ｂ）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也 可以用一组两个有顺序的数来表示．于是在蜘蛛的启 示下，笛卡尔创建了直角坐标系． 无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定 的，就是笛卡尔是个勤于思考的人．这个有趣的传说， 就像瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样， 说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受 到周围一些事物的启发，触发了灵感．直角坐标系的创 建，在代数和几何上架起了一座桥梁．它使几何概念得 以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式 来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的 研究．笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代 数方法来研究几何图形的数学分支———解析几何．他 的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就 可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成 的．比如，我们把圆看成是一个动点对定点Ｏ作等距离 运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点 Ｏ距 离相等的点组成的．我们把点看作是组成图形的基本 元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数 挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩．把图形看成点 的运动轨迹，这个想法很重要！它从指导思想上改变了 传统的几何方法．笛卡尔根据自己的这个想法，在《几 何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和 代数挂钩的解析几何．在解析几何中，动点的坐标就成 了变数，这是数学第一次引进变数． 恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说：“数学中的 转折点是笛卡尔的变数．有了变数，运动进入了数学； 有了变数，辩证法进入了数学．”坐标方法在日常生活 中也用得很多．例如围棋、国际象棋中棋子的定位；电 影院、剧院、体育馆的看台、火车车厢的座位以及高层 建筑的房间编号等都用到了坐标的概念．随着同学们 知识的不断增加，坐标方法的应用也会更加广泛． 书 近年来，在试题中出现了一些以大家熟悉的“棋类 游戏”为载体的新题型．该类题将棋盘与平面直角坐标 系结合起来，使得坐标问题富有趣味性，同时也锻炼了 同学们的动手实践和自主探索能力．如何探索棋盘上点 的坐标呢？下面列举