第一章全等三角形证明题2023-2024学年苏科版八年级数学上册

八上第一单元全等三角形 1．已知：如图(a)，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°． 求证：(1)①AC＝BD；②∠APB＝50°． (2)如图(b)，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝，则AC与BD间的等量关系为多少，∠APB的大小为多少． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 4.如图(a)A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD． (1)图(a)中有_______对全等三角形，并把它们写出来； (2)求证：BD与EF互相平分于G； (3)若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图(b)时，其余条件不变，第(2)题中的结论是否成立，如果成立，请予证明． 5.如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=3BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE． （1）求证：△ABP≌△CBE； （2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2． ①当=2时，求证：AP⊥BD； ②当=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值． 6.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线． 那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD ． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O． (1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； (2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． 拓展：如图3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，则△ABC的面积是________（请直接写出答案）． 7.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， 直线MN过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，试说明线段DE和线段AD、BE之间的大小关系； ⑵当直线MN绕点O旋转时，上述结论是否总成立？若成立，请说明理由；若不一定成立，请给出上述三条线段可能的关系式． 8已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于直线CE，交CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于直线CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明． 9.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证MN＝BM＋DN． （2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 10.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间数量关系． （1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM＋CN． （2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM＋CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． （3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系． $$