1.1.2 空间向量的数量积运算 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

耿洪辉精品系列课件 《高中数学选择性必修一》 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 1．了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点） 3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点） 学习目标 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 O A B ∠AOB [0，π] 1.空间向量夹角 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 3 知识要点2 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零. 2.空间两个向量的数量积 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据. 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b ⇔ _______ ②若a与b同向，则a·b ＝ ______；若反向，则a·b ＝ ________. 特别地，a·a ＝____或 |a| ＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______ ④|a·b| ≤ |a|·|b| a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 两个向量数量积的性质 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 5 例1 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4， BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值． 例题 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 D 阶段检测（一） 1、空间四边形OABC中，OB=OC,=, 则COS值是（ ） A、 B、 C、 - D、 0 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 D A. 12　　 B．8 C．4 D．13 阶段检测（一） 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 8 例1答案2 (2) (1) 如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c = |a|cos<a,b>，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线 l 投影 (图1.1-11 (2)) 空间向量的投影 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 如图1.1-11（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. (3) 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立. 空间向量的运算律 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 11 例1答案 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！ 例1 已知:如图，PO，PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，，且. 求证：. 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 逆命题成立吗? 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. m n g 取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 例2 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 14 m n g 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 15 以上命题中的真命题是 （ ） A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(2)(4) 阶段检测（二） 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 16 例1 ___________ 耿洪辉精品系列课件-----高中数学选择性必修一 17 例1 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1.证明两直线垂直. 2.求两点之间的距离或线段长度. 3.证明线面垂直. 4.求两直线所成角的余弦值等. 课堂小结 耿洪