第1章全等三角形-常见解题模型(截长补短+一线三等角+三垂直) 2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形-常见解题模型 【学习目标】 1.截长补短模型 2.一线三等角模型 3.三垂直模型 【典型例题】 类型一、截长补短模型 【例1】如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD D B 举一反三： 【变式1】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求证：AE +CE=AC. A 0 D B 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 【变式2】在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①，在四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE是∠BAD的平分线，AD∥BC. 求证：AB=AD+BC. 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长AE、BC交于点F. 方法2：如图③，在AB上取一点G,使AG=AD,连接EG、CG. (1)请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程： (2)如图④，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是边CD的中点，LBAD=60°， ∠D+∠BCD=180°，求证：CB=CE. D 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 【变式3】本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把 四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题. D 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，连接AC. ①小明发现，此时AC平分LBCD.他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E,使得 BE=CD,连接AE,证明△ABE≌△ADC,从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平 分LBCD,请你参考小明的想法，写出完整的证明过程. ②如图2，当∠BAD=90°时，请你判断线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明. (2)如图3，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C,点B在线段CE上，且 ∠ABC+L4DC=180°，请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明. 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 类型二、一线三等角（等角可以是锐角、直角、钝角） 【例2】(1)如图1，直线m经过等边三角形ABC的顶点A,在直线m上取两点D,E,使得 ∠ADB=60,∠AEC=60°，求证：BD+CE=DE: (2)将(1)中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120 °，∠AEC=120°.若BD=3,CE=7,求DE的长 D D B 图1 图2 举一反三： 【变式1】【探究】如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线 AD上，∠I、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.若AB=AC,∠1=L2=LBAC,求证：△ABE≌△ CAF. 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点 E、F在线段AD上，LI=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为9，则△ABE与aCDF的面积之和为· M D 8人1 2 图① 图② 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 【变式2】如图，在△ABC中，AB=4C=2,∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重 合)，连接AD,作∠4DE=40,DE交线段AC于E. B<40人40 D (1)点D从B向C运动时，LBDA逐渐变 (填“大”或“小”)，但∠BDA与∠EDC 的度数和始终是 度 (2)当DC的长度是多少时，△ABD≌△DCE,并说明理由. 【变式3】(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD ⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E,证明：DE=BD+CE. (2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上， 并且有∠BDA=∠AEC∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE-BD+CE是否成立？如 成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. (3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点 互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE, 若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状 B D m E (图1) (图2) (图3) 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 类型三、三垂直模型（一线三等角中特殊的直角） 【例3】如图：在△ABC中，AC=BC,D是AB上的一点，AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若 CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系，并说明理由. 举一反三： 【变式1】己知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m过点A,且BD⊥m于D,CE⊥m于 E,当直线m