13.4 课题学习 最短路径问题 教案 2023—2024学年人教版数学八年级上册

13.3.4 最短路径问题 教学内容 13.3.4 最短路径问题 课时 1 核心素养目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：通过情景导入搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想. 2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力. 3.会用数学的语言表示现实世界：通过对用垂直平分线的性质判断最短路径的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值. 知识目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 教学重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段.最短”问题． 教学难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 新课导入：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图 1 中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1：将军饮马问题 问题1 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：教师引导学生把实际生活问题数学抽象成几何探究，用提问的方式，让学生思考河可以看作什么，马和房屋可以看作什么？启发学生思考并让他们作图如下： 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识: (1)从AB地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2) 在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从AC地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3) 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小，教师总结：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小. 探究一 如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，点 C 在直线 l 上的一个动点，当点 C 在 l 什么位置时，AC 和 CB 的和最小？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充. 如果学生有困难，教师可作如下提示: (1) 如图，点 A、B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点分别到点 A 与点 B 的距离和最短？ (2) 如何将探究一的点 B“移”到 l 的另一侧 B′处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 C′B′ 的长度相等？ (3) 你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？ 师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书. 师生共同总结： 练习 1.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l₁ 的码头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l₂ 的码头 C，最后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置. 师生活动：师生共同分析，然后学生说明作图步骤，教师板书作图. 知识点2:造桥选址区问题 探究二 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ 师生活动：学生独立思考后，师生共同分析，把实际问题转化成数学问题，即：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？教师分析作图过程，学生独立完成作图. 练习2.如图 (1) 是示意图，在第 1 题的条件下，如果在湖面上再新建一座观赏亭 N，且游船路线为湖岸 l₁ 的码头 D→亭子 M→亭子 N→湖岸 l2 的码头 C→湖岸 l₁ 的码头 D.请在图(2)中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置.(提示：思考最短路线是由哪几条线段相加). 师生活动：学生独立思考后，教师分析作图过程，学生独立完成作图. 三、当堂练习，巩固所学 1.(佛山校考)某开发商的经适房的三个居民小区 A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和 150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在 ( ) A.小区 A B. 小区 B C.小区 C D. AC 的中点 2.线段 AC 是正方形 A