1.1探索勾股定理 同步练习 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

1.1探索勾股定理 同步练习 一、单选题 1．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 3．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 4．如图，有一张三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与重合，折痕为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．在北湖公园的处附近有，，三棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均为1米)．现计划修建一座以为圆心，为半径的凉亭．下列的值(单位：米)可以保证不砍伐，，三棵树的是(    )    A． B．3 C． D． 6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　）    A．64 B．16 C．8 D．4 7．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．3 B．4 C．2 D． 8．如图，在中，，，于D，E为上任一点，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 二、填空题 9．若a，12，13是一组勾股数，则 ． 10．在中，斜边，则的值为 ． 11．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 12．如图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， ．    13．已知，那么以，边长的直角三角形的第三边长为 ． 三、解答题 14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合．    (1)求的长； (2)求的长． 15．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值； (3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积． 16．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 17．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 参考答案 1--8CAACD CAD 9．5 10． 11．69 12． 13．5或； 14．（1）解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm， ， 由折叠的性质可知：， ； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 15．(1)解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下： ∵，， ∴， ∴这个三角形是“平方倍三角形”． (2) 解：∵三角形为直角三角形，且直角边长为a和b，斜边为c， ∴由勾股定理可知：， ∵三角形是平方倍三角形， ∴或者， 当时：由①、②两式得到：， 整理得到：，即：， 再代入①中得到：， ∴； 当时：由①、③两式得到：， 整理得到：，即：， 再代入①中得到：， ∴； 综上所述：． (3) 解：如下图所示： ∵CD为ABC的中线， ∴AD=BD=AB， 由已知CD＝AB， ∴AD=CD=BD， ∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC， 又△ABC内角和为180°， ∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°， ∴2∠DCA+2∠DCB=180°， ∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°， ∴△ABC为直角三角形， 由已知条件是平方倍三角形可知： 设AD=CD=DB=x(x>0)， 情况一：当AD²+CD²=3AC²时：得到3AC²=2x²， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²+BC²=AB²，代入数据： ，解出(负值舍去)， ∴， ∴； 情况二：当AD²+AC²=3CD²时：得到AC²=2x²， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²+BC²=AB²，代入数据： ，解出(负值舍去)， ∴， ∴； 综上所述：△ABC的面积为或． 16．（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD 在中， ∴AC＝＝， CE＝＝， ∴AC+CE＝； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于