第26讲 导数中的利用韦达定理研究双变量问题-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第26讲 导数中的利用韦达定理研究双变量问题 题型一：利用韦达定理消元求范围问题 【精选例题】 【例1】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)若两个极值点，，且，求的取值范围. 2.已知函数（a为常数）． (1)若函数是增函数，求a的取值范围； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 题型二：利用韦达定理消元证明双变量不等式问题 【精选例题】 【例1】已知函数有两个不同的极值点、. （1）求实数的取值范围； （2）若，求证：，且. 【例2】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明： 【例3】已知函数有两个极值点，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【例4】已知函数. (1)讨论极值点的个数； (2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得. 【跟踪训练】 1.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，，证明：. 2.已知函数 ． (1)当且时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数的两个极值点分别为，，证明：． 3.已知． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，证明：． 4.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，，证明：． 5.已知函数． (1)若的最小值为，求a的值； (2)若，证明：函数存在两个零点，，且． 题型三：利用韦达定理消元求双变量参数问题 【精选例题】 【例1】已知函数，为的导函数． (1)当时，若在[上的最大值为，求； (2)已知是函数f（x）的两个极值点，且，若不等式恒成立，求正数m的取值范围． 【例2】已知函数， (1)讨论的极值点个数； (2)若在内有两个极值点，，且，求的取值范围. 【例3】已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知函数（），且有两个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 2.已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数m的取值范围． 3.已知函数在点，（1）处的切线与轴平行． (1)求实数的值及的极值； (2)若对任意，，有，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第26讲 导数中的利用韦达定理研究双变量问题 题型一：利用韦达定理消元求范围问题 【精选例题】 【例1】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为，即. （2），则函数的定义域为， 若函数有两个极值点，且．则方程的判别式，且，． ． 设，则在上恒成立．故在单调递减，从而．因此，的取值范围是． 【跟踪训练】 1.已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)若两个极值点，，且，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；(2) 【详解】（1）函数的定义域为，又，，令，得，当时，时，，所以在单调递增；当时，方程的，①当时，，则，所以在单调递增；②当时，，令，得，， 当时，；当时，；所以在上单调递减，在，上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增； （2）由（1）得若有两个极值点，则，且，，即，故 ，，令，则，所以在上单调递减；即，故，综上所述：的取值范围为：. 2.已知函数（a为常数）． (1)若函数是增函数，求a的取值范围； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）的定义域为，，若函数为增函数，则在上恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，故a的取值范围是； （2）若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根， 从而得到，即，又，故， ，令，则， ，所以在上单调递增，所以，即的值域为，所以的范围是. 题型二：利用韦达定理消元证明双变量不等式问题 【精选例题】 【例1】已知函数有两个不同的极值点、. （1）求实数的取值范围； （2）若，求证：，且. 解析：（1）实数的取值范围是； （2）由题意可知，、为方程的两个实根，由于，则，当时，，，由（1）可知， ，，令，设，. ，所以，函数在上单调递减，所以，，因此，. 【例2】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明： 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【详解】（1），令，注意到，对称轴，故， （