1.4.2 充要条件 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

202X 1.4.2充要条件 第一章集合与常用逻辑用语 温故知新 则 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 则p 是 q 的不充分条件 q 是 p 的不必要条件 概念引入 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 1、若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； 2、若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 3、若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则a.c<0： 4、若A∪B是空集，则A与B均是空集. 真 真 真 假 假 真 真 真 观察(1)(4)有什么样的共同特点？ 概念引入 概念 概念的理解 理解 例:下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件? (1) p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例; (3) p:xy>0，q:x>0,y>0; (4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0). 典例精析 直接用定义判断 充分不必要 充要 必要不充分 充要 跟踪练习、下列各组语句中，p是q的什么条件？ （1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0； （2）p：四边形的四条边相等， q：四边形是正方形； （3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1； （4）p：a＞b，q：a2＞b2. 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 例:x是实数,则x＞2的一个必要不充分条件是（ ） A x＞1 B x＜1 C x＞3 D x＜3 利用集合的关系判定 A B A A B A B （3） A = B （4） 方法小结： 3)若 且 ，则称p是q的既不充分也不必要条件 A B B A Í Í （1） （2） 充分、必要条件的证明 证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 充分、必要条件的证明 充分、必要条件的证明 方法总结 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件, 由“条件”⇒“结论”是证明充分性, 由“结论”⇒“条件”是证明必要性.证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性. 充分、必要条件的证明 练习：已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0. 　　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 例 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究　 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 习题演练 习题演练 习题演练 习题演练 习题演练 集合的视角 课堂小结 THANKS 祝你学习进步 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.读作p等价于q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q⇒/ p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p⇒/ q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p⇒/ q，且q⇒/ p p是q的既不充分也不必要条件 方法指导　解答本题可先确定p和q,再分充分性(由ac<0推证方程有一个正实数根和一个负实数根)和必