专题03 等式与不等式的性质培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

专题03 等式与不等式的性质培优题型 数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式与不等式则是表示相应数量关系的基本工具；等式与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛的应用； 沪教版必修第一册主要通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式；在学习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件； 《必修第一册》目录；第2章 等式与不等式，2.1 等式与不等式的性质： 2.1.1 等式的性质与方程的解集；2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系；2.1.3 不等式的性质； 1、实数大小的比较：；；； 2、等式的基本性质 传递性　如果，且，那么； 加法性质　如果，，那么； 乘法性质　如果，，那么； 3、不等式的基本性质 传递性　如果，且，那么； 加法性质　如果，，那么； 乘法性质　如果，，那么；如果，，那么； 4、一元二次方程的根与系数关系： 设两根为、，则，； 5、一元二次不等式的求解（下表中均假设，而Δ） Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不等的实根x1，x2且x1<x2 有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2 无实根 ax2＋bx＋c >0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} 题型1、注意用好等式性质与求方程的解集 例1 、（1）若m＋n＝5，m－n＝2，则m2－n2的值为______，m3－n3＝________． 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】等式性质；初中代数公式的灵活应用与“整体计算”思想； （2）方程 －＝1的解集是 【说明】本体考查了等式性质与方程的解、方程的解集；解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤；（1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数；注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号； 【注】相关考点 等式 用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子 方程 含有未知数的等式 方程的解 使得方程两端相等的未知数的值 方程的解集 以方程的所有解为元素组成的集合 【考点】方程的解与解方程； 题型2、一元一次不等式及其应用 例2 、（1）不等式组的最小整数解为（ ） A．0　　　　　　B．1 C．2 D．－1 （2）解不等式组并写出不等式组的整数解． 【说明】1、一元一次不等式；一般地，由两个或两个以上关于同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组； 2、不等式组的解集； 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集． 3、一元一次不等式组的解法 （1）求出这个不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集；特别注意短点的取舍； 【方法归纳】一元一次不等式组解集的确定方法；设a<b，则： （1）关于x的不等式组的解集是(b，＋∞)，即“同大取大”，如图（1）； （2）关于x的不等式组的解集是(－∞，a)，即“同小取小”，如图（2）； （3）关于x的不等式组的解集是(a，b)，即“大小小大中间找”，如图（3）； （4）关于x的不等式组无解，即“大大小小无法找”，如图（4）； 题型3、对一元二次方程根的判别式的理解 例3 、（1）下列四个结论中，正确的是（ ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程（其中为常数，且）有两个不相等的实数根。 （2）判定下列关于的方程的根的情况（其中为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根： （1）； （2）；（3）；（4）。 【说明】在第（3），（4）小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论；分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题； 【归纳】对于一元二次方程，可以用来判断一元二次方程根的情况： （1）当，方程有两个不相等的实数根； （2）当，方程无实数根； （3）当，方程有两个相等的实数根； （4）当，方程有两个实数根或方程有实数根； （5）注意一元二次方程首先应满足； （6）注意方