专题10 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(华东师大版）

专题10 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【模型一 平移型模型】 1 【模型二 轴对称型模型】 4 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 8 【模型四 一线三等角模型】 13 【模型五 三垂直模型】 19 【模型六 旋转型模型】 24 【模型七 倍长中线模型】 32 【典型例题】 【模型一 平移型模型】 例题：（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    2．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．求证：．    3．（2023春·山东济南·七年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)求证：． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，，，求证：．    【变式训练】 1．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，，相交于点，，．求证：    (1)； (2)． 2．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）如图，，，垂足分别为E，D，且．求证：． 3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，已知，，，．      (1)与是否全等？说明理由； (2)如果，，求的度数． 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，、分别是和的中点．求证： ．    【变式训练】 1．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 2．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：； （2）类比探究：如图 2，，且． （1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若 的面积为，，求与的面积之比．    【变式训练】 1．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【模型五 三垂直模型】 例题：（2023春·辽宁本溪·七年级统考期末）已知，，，，垂足分别为点D，E．    (1)如图①，求证： (2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末）在中，，，直线经过点，且于，于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； 2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【模型六 旋转型模型】 例题：如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠AB