专题06 线段的垂直平分线与角平分线综合问题之五大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题06 线段的垂直平分线与角平分线综合问题之五大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 1 【考点二 线段垂直平分线的判定】 4 【考点三 利用角平分线的性质求解】 8 【考点四 角平分线的判定】 11 【考点五 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 14 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 例题：（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，P在内，点C、D分别是点P关于的对称点．如果的周长为12，则的长为（    ）    A．6 B．12 C．15 D．18 【变式训练】 1．（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．    3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点． (1)若，则的周长为 ______； (2)若，求的度数． 【考点二 线段垂直平分线的判定】 例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)写出与的关系，并说明理由； 【变式训练】 1．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若平分，，求的周长． 【考点三 利用角平分线的性质求解】 例题：（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，是中的平分线，于点E，，则（   ）    A．14 B．26 C．56 D．28 【变式训练】 1．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．（2023春·山西运城·七年级统考期末）如图，BD平分，P是上一点，过点P作于点Q，，O是上任意一点，连接，则的最小值为 ．    3．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．    (1)求的度数； (2)试说明． 【考点四 角平分线的判定】 例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，的平分线与的外角平分线相交于点，连接．求证：是的外角平分线． 【变式训练】 1．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，于点E，于点F，若． (1)求证：平分； (2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【考点五 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． (3)若，，求的长． 【变式训练】 1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，则的长为___________ 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且． (1)求证：为的角平分线； (2)若，，求的长． 3．（2023春·全国·八年级开学考试）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4． (1)求证：BD平分∠ABC； (2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（2023秋·陕西西安·