专题23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 “手拉手”模型】 1 【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】 3 【变式2 特殊三角形——矩形】 12 【变式3 特殊三角形——正方形】 16 【类型二 “半角”模型】 22 【典型例题】 【类型一 “手拉手”模型】 例题：（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕点旋转到图①的位置时，连接并延长相交于点（点与点重合），有（或）成立．    (1)将△ADE绕点旋转到图②的位置时，连接相交于点，连接，猜想线段之间有怎样的数量关系？并加以证明； (2)将△ADE绕点旋转到图③的位置时，连接相交于点，连接，猜想线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】 例题：（2023春·吉林长春·七年级校考期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若，，，则≌． (1)【材料理解】在图1中证明． (2)【问题解决】如图2，和都是等腰三角形，，，，线段与线段交于点F，延长交于点，求证：．下面是小明的部分证明过程： 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 请你补全余下的证明过程． (3)【结论应用】如图3，是等腰三角形，，、分别为边、上的点，且满足，连接，将以点为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为，当线段与的腰有交点，且直线垂直于的腰时，直接写出的值． 【变式训练】 1．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知和都是等腰直角三角形（），．    (1)如图①，连，，求证：； (2)若将绕点顺时针旋转． ①如图②，当点恰好在边上时，求证：； ②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 2．（2023春·江西吉安·八年级校联考期中）如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，如图2，求证：； (2)当时，如图3，延长交于点，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积． 【变式2 特殊三角形——矩形】 例题：（2023春·福建福州·八年级统考期末）矩形的边长，，将矩形绕点顺时针旋转角得到矩形，点、、的对应点分别为、、．    (1)如图，当过点时，求的长； (2)如图，当点落在上时，连结、． ①四边形是何特殊的四边形？请说明理由； ②证明点、、三点共线． 【变式训练】 1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点O怎么转动，总有，连接，求证：． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； 【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，直接写出线段的长度．    【变式3 特殊三角形——正方形】 例题：（2023·山西大同·校联考三模）综合与实践： 问题情景：如图1、正方形与正方形的边，在一条直线上，正方形以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接，．    (1)操作发现：当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：； (2)操作发现：如图3，当点E在延长线上时，连接，求的度数； (3)问题解决：如图4， 如果，，，请直接写出点G到的距离． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．      特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，△APE的形状是否发生改变？请说明理由． 【类型二 “半角”模型】 例题：（2023春·福建漳州·八年级校考期中）（1）【发现证明】老师在数学课上提出一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，请试判断、、之间的数量关系，小聪把绕点A逆时针旋转至，发现，请