1.2 空间向量的应用 (题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

1.2 空间向量基本定理 1.通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量. 2.能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 3.能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解. 4.通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 1.2 空间向量基本定理 1 一、主干知识 3 空间向量的应用 3 2.空间中直线、平面的平行 3 3. 空间中直线、平面的垂直 3 4.用空间向量研究距离、夹角问题 3 二、分类题型 5 题型一 求法向量 5 题型二 空间中直线、平面的平行 10 命题点1　直线与平面的平行 10 命题点2　平面与平面的平行 15 题型三 空间中直线、平面的垂直 19 命题点1　直线与平面的垂直 19 命题点2　平面与平面的垂直 22 题型四 空间向量与线、面夹角问题 24 命题点1　异面直线的夹角 24 命题点2　直线与平面的夹角 33 命题点3　平面与平面的夹角 48 题型五 空间向量与线、面距离问题 61 命题点1　点到平面距离 61 命题点2　平行平面间的距离 74 命题点3　点到直线的距离 77 命题点4　异面直线的距离 86 三、分层训练：课堂知识巩固 116 一、主干知识 空间向量的应用 1.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量. 2.空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得 . （2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则 . 法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则. 法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则. （3）面面平行:设分别是平面的法向量，则，使得. 3. 空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则. （2）线面垂直: 设直线的方向向量, 是平面的法向量,则，使得. 法2: 在平面内取两个不共线向量,若.则. （3）面面垂直: 设分别是平面的法向量，则. 4.用空间向量研究距离、夹角问题 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. （3）直线与直线的夹角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. (4)直线与平面的夹角 设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. （5）平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 二、分类题型 题型一 求法向量 【例题精析1】 如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一） 【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可. 【详解】因为正方体的棱长为3，， 所以，，，则，， 设是平面的法向量，则，， 所以， 取，则，，故， 于是是平面的一个法向量（答案不唯一）． 【例题精析2】 在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 【答案】(1)    (答案不唯一)(2) (答案不唯一) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量； （2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量. 【详解】（1） 由题意，可得, 连接AC，因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面，所以， 且，则AC⊥平面， ∴为平面的一个法向量. (答案不唯一). （2） 设平面的一个法向量为， 则 令，得 ∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一). 【例题精析3】 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求：平面PAB的一个法向量． 【答案】 【分析】先建立空间直角坐标系，假设平面PAB的一个法向量，法向量与平面内的两相交的直线垂直，利用数量积为，解方程即可求得． 【详解】 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BDAD， 从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，为坐标原点， 射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz， 则A（1，0，0），B（0，