1.1 空间向量运算及其坐标表示(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

1.1 空间向量运算及其坐标表示 1.理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. 2.会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 解读：1.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2.利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 3.利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具. 1.1 空间向量运算及其坐标表示 1 一、主干知识 2 考点1：空间向量运算公式 3 1.空间向量基本概念 3 2.空间向量的线性运算 3 3.共线、共面向量基本定理 3 4.空间向量的数量积 3 5.空间向量运算的坐标表示 4 6.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示 4 7.空间两点间的距离公式 4 二、分类题型 6 题型一 空间向量及其线性运算 6 命题点1　空间向量的线性运算 6 命题点2　空间向量的共线、共面问题 13 题型二 空间向量运算的坐标表示 25 命题点1　空间向量数量积及其坐标表示 25 命题点2　空间向量模长的坐标表示 28 命题点3　空间向量垂直的坐标表示 31 命题点4　空间向量夹角的坐标表示 34 命题点5　空间向量投影的坐标表示 39 三、分层训练：课堂知识巩固 42 一、主干知识 考点1：空间向量运算公式 1.空间向量基本概念 空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为或. 零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为. 单位向量：模为1的向量叫作单位向量. 相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,记为. 共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行. 相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量. 2.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同. 3.共线、共面向量基本定理 （1）直线的方向向量：在直线上取非零向量,与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. （2）共线向量基本定理： 对任意两个空间向量（）， 的充要条件是存在实数，使. （3）共面向量： 如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线. 如果直线平行于平面或在平面内,那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量,叫作共面向量. （4）共面向量基本定理:如果两个向量 ,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使. 4.空间向量的数量积 （1）向量的夹角：已知两个非零向量,,在空间任取一点,作,则叫作向量,的夹角,记作.如果,那么向量互相垂直,记作. （2）数量积定义：已知两个非零向量,则叫作的数量积,记作. 即 . （3）数量积的性质： . （4）空间向量的数量积满足如下的运算律： (结合律) (交换律): （分配律). 推论：， . （5）向量的投影向量： 向量在向量上的投影向量： 向量在平面内的投影向量与向量的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 5.空间向量运算的坐标表示 设，则： （1），（2）， （3）. 6.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示 （1），（2） ， （3） ，（4） . 7.空间两点间的距离公式 设，则 . 二、分类题型 题型一 空间向量及其线性运算 命题点1　空间向量的线性运算 ｛空间向量有关概念｝ 【例题精析1】 判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）零向量没有方向( ) （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量( ) （3）空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向( ) （4）若， 则( ) （5）若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同( ) 【例题精析2】 判断下列命题的真假． ①空间向量就是空间中的一条有向线段；( ) ②不相等的两个空间向量的模必不相等；( ) ③任一向量与它的相反向量不相等；( ) ④向量与向量的长度相等．( ) ｛空间向量的加减运算及其坐标表示｝ 【例题精析3】 空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于    （    ）    A． B． C． D