17.3 一元二次方程根的判别式（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

17.3 一元二次方程根的判别式 学习目标：1.根据根的判别式不解方程判断一元二次方程根的情况； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 3.能应用判别式解决实际问题. 重点：能通过一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况. 难点：确定含字母系数的方程的根的情况. 知识点一 一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程根的判别式 将ax²+bx+c=0(a≠0)配方成(x+)2=后，可以看出，只有当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b²-4ac的值就决定着一元二次方程根的情况. 一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b²-4ac. 2. 判别式△与一元二次方程根的情况 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 学生：请问一元二次方程根的判别式的主要应用有哪些？ 老师：①不解方程，判断根的情况； ②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；(3)当 b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。 即学即练 不解方程，判别下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二 探索一元二次方程的根与系数的关系 （1） 方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 （2） 方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 知识点三 以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 知识点四 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1）      （2）       （3） 即学即练2 （2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 例1（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由． 举一反三1（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根． 举一反三2（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． (3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 例2（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于的方程． (1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根； (3)有实根，求m的最小整数值． 举一反三1（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知关于的方程，当k是什么实数时，有两个相等的实数根，并且求出这两个根． 举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于的方程 (1)当取什么值时，方程只有一个根？ (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型三 已知方程的一个根，求另一个根或字母系数的值 例3 （2023秋·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根． 举一反三1 （2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值及另一个根； (2)若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围． 举一反三2 已知关于x的一元