专题05 最短路径问题、特殊三角形的存在性问题（二大题型，9类型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（苏科版）

专题05 最短路径问题、特殊三角形的存在性问题 最短路径（将军饮马）问题 【类型一】 1．（2022·扬州月考）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为　　 A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 2．如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2022·南京月考）如图，等腰直角中，，，为的中点，，若为上一个动点，则的最小值为　　． 4．（2022·无锡期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在小正方形的顶点上，点在边上，且点在小正方形的顶点上，连接． （1）在图中画出，使与关于直线对称； （2）与四边形重叠部分的面积　　； （3）在上找一点，使得的值最小． 【类型二】 5．如图，等边的边长为6，是高，是边上一动点，是上一动点，则的最小值为　　． 6．（2022·镇江期中）如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是　　． 【类型三】 7．如图，直线上有两个动点，，点，在直线同侧，且点与点到直线的距离分别为和，且，动点，之间的距离恒为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【类型四】 8．如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为　　． 9．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是　　 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【类型五】 10．如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为　　． 【类型六】 11．（2022·扬州期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△； （2）在上画出点，使的周长最小． （3）在上找一点，使值最大． （4）的面积是　　． 特殊三角形的存在性问题 【类型一：等腰三角形】 12．（2022·南京期中）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画　　 A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 13．（2022·无锡期中）如图，已知中，，，在直线或上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 14．（2022·盐城期中）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则　　． 15．（2022·连云港期中）如图：已知在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则的度数为　　． 16．（2022·南京期中）在中，，，，动点从点出发，沿着运动，速度为每秒2个单位，到达点时运动停止，设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）求上的高； （2）当为何值时，为等腰三角形？ 【类型二：等边三角形】 17．如图，在正方形中，，、是对角线上的两个动点，且，是正方形四边上的任意一点．若是等边三角形，则符合条件的点共有　　个，此时的长为　　． 18．（2022·苏州月考）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． （1）如图1，若，，求的值； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【类型三：直角三角形】 19．（2022·南京期中）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间是　　秒时，是直角三角形． 20．（2022·南通期末）如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为直角三角形时，则运动的时间为　　 A． B．或 C．或 D．或 【最短路径（将军饮马）问题】 21．（2022·镇江期中）如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为　　． 22．（2022·海安期末）如图，在中，，，点为射线上的动点，，且．当的值最小时，的度数为　　． 23．如图，为内一定点，、分别是射线、上的点， （1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，已知，求的度数． 24．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　； （2）代数应用：求代数式的最小值； （3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小